Probabilités conditionnelles
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PROBABILITÉ S CON DI TIO NNE LLE SI - RAPPELS
1 - Probabilité d’un évènement :
La probabilité d’un évènement A , notée p(A) , est la somme des probabilités des évènements élémentaires inclus dans A . Dans une situation d’équiprobabilité ( où chaque issue a la même probabilité d’être réalisée), la probabilité de A est : p(A) = nombre d0 issues f avorables a A ` 0 issues possibles nombres d
¯ La probabilité de l’évènement contraire de A est p(A) = 1 p(A) La probabilité de l’évènement A [ B est p(A [ B) = p(A) + p(B)
p(A \ B)
2 - Loi de probabilité d’une variable aléatoire et paramètres :
Si X est une variable aléatoire prenant n valeurs x1 , x2 , x3 , ..., xn , alors la loi de probabilité de X est donné par le tableau :
V aleur xi de X P robabilite pi = p(X = xi ) x1 p1 x2 p2 x3 p3 ... ... xn pn i=n X i=1
L’espérance de X est E(X) = p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 + ... + pn xn = La variance de X est V (X) = p1 (x1 E(X))2 + p2 (x2 p L’écart type de X est (X) = V (X)
pi x i E(X))2
E(X))2 + ... + pn (xn
3 - Coefficients binomiaux :
Soit n et k deux entiers naturels avec k n
Définition :
Étant donné une expérience à deux issues, le✓ ◆ nombre de chemins comportant k succès lors d’une n répétition de n de ces expériences est égal à k
Propriété :
✓ ◆ ✓ ◆ n n = k n k
Formule de Pascal :
✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ n n n+1 + = Si k < n , alors k k+1 k+1
4 - Loi binomiale :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui admet exactement deux issues : S ¯ (succès) de probabilité p et S (échec) de probabilité q telle que q = 1 p Dans une épreuve de Bernoulli, on note Y la variable aléatoire qui prend la valeur 1 lorsque S est réalisé et la valeur 0 en cas d’échec. On dit que Y suit une loi de Bernoulli de paramètre p On appelle schéma de Bernoulli d’ordre n l’expérience aléatoire qui est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. La loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à chaque issue associe le nombre k