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produit scalaire

1814 mots 8 pages
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PRODUIT SCALAIRE
® ®
Exercice de motivation : ABC est un triangle tel que AB = 4, AC = 3 et ( AB , AC ) =

4

A
70°

70°. Problème : calculer BC.

3

On ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore car le triangle n'est pas rectangle. On verra, à la fin de ce chapitre, que le produit scalaire offre une solution à ce problème en

C

généralisant le théorème de Pythagore à tout triangle.
I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences
Définition 1
®

®

On se place dans une base orthonormée du plan. Soient u (x ; y) et v ( x ¢ ; y ¢ ) deux vecteurs.
®

®

® ®

On appelle produit scalaire (euclidien) de u et v le réel noté u . v et défini par :
® ®

u . v = x x¢ + y y ¢

®

®

® ®

Exemple : Avec u (1 ; 2) et v (2 ; 3), on obtient u . v = 2 + 6 = 8.
Remarques :
·

® ®

® 2

®2

® 2

u . u = x 2 + y 2 = | u | . On notera parfois (convention) u = | u | .

® ®
® 2
® 2
®2
De même, si A et B sont deux points, on a AB . AB = | AB | et on notera parfois AB = | AB | .
®

®

® ®

· Si l'un des deux vecteurs u ou v est nul alors le produit scalaire est nul. Mais attention, u . v = 0
® ®
® ®
®
® n'entraîne pas nécessairement ( u = 0 ou v = 0 ). (Considérer par exemple u (1 ; 2) et v (2 ; -1) pour

s'en convaincre)
®

®

®

®

® ®

® 2

· Si u et v sont colinéaires ( v = k u ) alors u . v = x.kx + y.ky = k( x 2 + y 2 ) = k | u | .

Théorème 1 Autres expressions du produit scalaire
® ®

1.

u.v=

1 ® ® 2 ® 2 ® 2
( |u + v | -|u | -|v | )
2

® ®
®
® ®
® ® ® ® ®
2. Lorsque u ¹ 0 et v ¹ 0 , u . v = | u | . | v | . cos( u , v )
® ®
® ®
® ®
®
®
®
3. Lorsque u ¹ 0 , u . v = u . v ¢ où v ¢ est le projeté orthogonal de v sur la direction donnée par u .

Démonstrations :
®

®

Notons (x ; y) et ( x ¢ ; y ¢ ) les coordonnées respectives de u et v . On a alors :

Produit scalaire

Page 1

G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

B

®

® 2

|u + v | =

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