Rien

Pages: 10 (2255 mots) Publié le: 3 janvier 2015

erivation
1


efinition


efinition 1 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I et soit a ∈ I. On dit que f est
f (x) − f (a)
d´erivable en a si la fonction x 7→
admet une limite finie ` lorsque x tend vers a.
x−a

efinition 2 Si f est d´erivable en a on appelle nombre d´eriv´e de f en a et on note f 0 (a) le
nombre
f 0 (a) = lim

x→a

f (x) − f (a)
f (a + h)− f (a)
= lim
h→0
x−a
h

Remarque 1 f est d´erivable en a de nombre d´eriv´e f 0 (a) si et seulement si
f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) + hε (h) avec lim ε (h) = 0
h→0

2
2.1

Fonctions usuelles
Fonction constante : f : x 7→ C

∀a ∈ R : f (a + h) = f (a) = C. Donc d’apr`es la remarque ?? : f est d´erivable en a et f 0 (a) = 0

2.2

Fonction identit´
e : f : x 7→ x

∀a ∈ R : f (a+ h) = a + h = f (a) + h = f (a) + 1.h + hε (h) avec ε (h) = 0.
Donc f est d´erivable en a et f 0 (a) = 1

2.3

Fonction carr´
e : f : x 7→ x2

∀a ∈ R : f (a + h) = (a + h)2 = a + 2ah + h2 = a + 2ah + h.ε (h) avec ε (h) = h.
Donc f est d´erivable en a et f 0 (a) = 2a

2.4

Fonction cube : f : x 7→ x3

∀a ∈ R : f (a + h) = (a + h)3 = a3 + 3a2 h + 3ah2 + h3 = a3 + 3a2 h + hε (h) avecε (h) = 3ah + h2 .
On a lim ε (h) = 0. Donc f est d´erivable en a et f 0 (a) = 3a2
h→0

2.5

Fonction inverse : f : x 7→
1
a+h


h

1
a

1
x

−h
−1
1
= lim
= − 2.
ah (a + h) h→0 a (a + h)
a
1
Donc f est d´erivable en a et f 0 (a) = − 2
a
∀a ∈

R∗

: lim

h→0

= lim

h→0


erivation

2.6

Fonction racine carr´
ee : f : x 7→

2


x

¡√

√¢ ¡√
√ ¢

a+h− a
a+h+ a
a+h− a
h
¡√
∀a ∈
: lim
= lim
= lim ¡√
√ ¢
√ ¢
h→0
h→0
h→0 h
h
h a+h+ a
a+h+ a
1
1
1
= lim √
√ = √ . Donc, si a > 0, f est d´erivable en a et f 0 (a) = √ .
h→0 a + h + a
2 a
2 a

h
1
= lim √ = +∞. Donc f n’est pas d´erivable en 0.
En 0 : lim
h→0 h
h→0 h
R∗+

3
3.1

Interpr´
etation graphique
Tangente

f (x) − f (a)
est lecoefficient directeur de la droite (AM) o`
u A (a; f (a)) et M (x; f (x)) .
x−a
M

f (x)

T
A

P

f (a)

a

x

Lorsque x tend vers a, le point M se rapproche de A et la droite (AM) de coefficient directeur
f (x) − f (a)
tend vers une position limite :
x−a
f (x) − f (a)
= f 0 (a) .
la droite T de coefficient directeur lim
x→a
x−a

efinition 3 Si Cf est la courbe repr´esentative de lafonction f d´erivable en a, la tangente `a
Cf au point d’abscisse a est la droite passant par A et de coefficient directeur f 0 (a) .
Th´
eor`
eme 1 Une ´equation de la tangente `a Cf au point d’abscisse a est
y − f (a) = f 0 (a) . (x − a)

3.2

Meilleure approximation affine

Si f est d´erivable en a de nombre d´eriv´e f 0 (a) : f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) + hε (h) avec
lim ε (h) = 0h→0

Le point P de T d’abscisse x = a + h a pour ordonn´ee f (a) + hf 0 (a) .
Le point M de Cf d’abscisse x = a + h a pour ordonn´ee f (a + h) .
On a donc P M = f (a + h) − f (a) − hf 0 (a) = h.ε (h) avec lim ε (h) = 0
h→0

Lorsque h est proche de 0, les points P et M sont proches l’un de l’autre donc f (a + h) est
proche de f (a) + hf 0 (a) .

efinition 4 f (a) + hf 0 (a) estl’approximation affine locale de f (a + h)

Remarque 2 Lorsqu’on remplace f (a + h) par f (a) + hf 0 (a) l’erreur commise est hε (h) .
Une autre droite passant par A fournirait une autre approximation mais on d´emontre que celle
fournie par la tangente est la meilleure (l’erreur commise est la plus faible).


erivation

4

3

Interpr´
etation cin´
ematique

Soit un mobile se d´epla¸cant surun axe.
d (t0 + h) − d (t0 )
est la vitesse moyenne entre les
Si d (t) est la distance parcourue a` l’instant t,
h
instants t0 et t0 + h.
d (t0 + h) − d (t0 )
est la vitesse instantan´ee du mobile a` l’instant t0 .
d0 (t0 ) = lim
h→0
h

5

Fonction d´
eriv´
ee


efinition 5 On dit qu’une fonction f est d´erivable sur un intervalle I lorsqu’elle est d´erivable
en...
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