D´ erivation 1

D´ efinition D´ efinition 1 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I et soit a ∈ I. On dit que f est f (x) − f (a) d´erivable en a si la fonction x 7→ admet une limite finie ` lorsque x tend vers a. x−a D´ efinition 2 Si f est d´erivable en a on appelle nombre d´eriv´e de f en a et on note f 0 (a) le nombre f 0 (a) = lim

x→a

f (x) − f (a) f (a + h) − f (a)
= lim h→0 x−a h Remarque 1 f est d´erivable en a de nombre d´eriv´e f 0 (a) si et seulement si f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) + hε (h) avec lim ε (h) = 0 h→0 2
2.1

Fonctions usuelles
Fonction constante : f : x 7→ C

∀a ∈ R : f (a + h) = f (a) = C. Donc d’apr`es la remarque ?? : f est d´erivable en a et f 0 (a) = 0

2.2

Fonction identit´ e : f : x 7→ x

∀a ∈ R : f (a + h) = a + h = f (a) + h = f (a) + 1.h + hε (h) avec ε (h) = 0.
Donc f est d´erivable en a et f 0 (a) = 1

2.3

Fonction carr´ e : f : x 7→ x2

∀a ∈ R : f (a + h) = (a + h)2 = a + 2ah + h2 = a + 2ah + h.ε (h) avec ε (h) = h.
Donc f est d´erivable en a et f 0 (a) = 2a

2.4

Fonction cube : f : x 7→ x3

∀a ∈ R : f (a + h) = (a + h)3 = a3 + 3a2 h + 3ah2 + h3 = a3 + 3a2 h + hε (h) avec ε (h) = 3ah + h2 .
On a lim ε (h) = 0. Donc f est d´erivable en a et f 0 (a) = 3a2 h→0 2.5

Fonction inverse : f : x 7→
1
a+h

− h 1 a 1 x −h
−1
1
= lim
= − 2. ah (a + h) h→0 a (a + h) a 1
Donc f est d´erivable en a et f 0 (a) = − 2 a ∀a ∈

R∗

: lim

h→0

= lim

h→0

D´ erivation 2.6

Fonction racine carr´ ee : f : x 7→

2

√ x ¡√
√
√ ¢ ¡√
√ ¢
√
a+h− a a+h+ a a+h− a h ¡√
∀a ∈
: lim
= lim
= lim ¡√
√ ¢
√ ¢ h→0 h→0 h→0 h h h a+h+ a a+h+ a
1
1
1
= lim √
√ = √ . Donc, si a > 0, f est d´erivable en a et f 0 (a) = √ . h→0 a + h + a
2 a
2 a
√
h
1
= lim √ = +∞. Donc f n’est pas d´erivable en 0.
En 0 : lim h→0 h h→0 h
R∗+

3
3.1

Interpr´ etation graphique
Tangente

f (x) − f (a) est le