Suites r´ eelles et complexes

Table des mati` eres I.

Propri´ et´ es de R
1) Le corps des r´ eels 2) La droite num´ erique achev´ ee 3) Repr´ esentation d´ ecimale d’un r´ eel 4) Parties denses de R

II.

Limite d’une suite r´ eelle 1) D´ efinition 2) Op´ erations sur les limites
3) In´ egalit´ es et limites

III. R´ esultats fondamentaux sur les suites r´ eelles 1) Suites monotones, suites adjacentes
2) Th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass

IV.

Exemples de suites r´ eelles 1) R´ esum´ e des m´ ethodes 2) Suites r´ ecurrentes 3) Suites implicites

V.

Suites dans C
1) Limite d’une suite complexe
2) Suites r´ ecurrentes lin´ eaires d’ordre 2
3) Comparaison de suites

Suites r´ eelles et complexes

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I. Propri´ et´ es de R
1) Le corps des r´ eels ❤ D´efinition 1.

Un corps K est un ensemble muni de deux op´erations (addition et multiplication) qui v´erifient les propri´et´es suivantes:

1) L’addition est associative : ∀(x, y, z) ∈ K3 , (x + y) + z = x + (y + z);
2) L’addition est commutative : ∀(x, y) ∈ K2 , x + y = y + x;
3) L’addition a un ´el´ement neutre 0K : ∀x ∈ K, x + 0K = 0K + x = x:
4) Tout ´el´ement de K a un oppos´e pour l’addition : ∀x ∈ K, ∃ (−x) ∈ K, x + (−x) = (−x) + x = 0K ;
5) La multiplication est associative : ∀(x, y, z) ∈ K3 , (x.y).z = x.(y.z);
6) La multiplication est commutative : ∀(x, y) ∈ K2 , x.y = y.x;
7) La multiplication a un ´el´ement neutre 1K = 0K : ∀x ∈ K, x.1K = 1K .x = x;
8) Tout ´el´ement non nul de K a un inverse pour la multiplication : ∀x ∈ K∗ , ∃ x−1 ∈ K, x.x−1 =
1 au lieu de x−1 ); x−1 .x = 1K (grˆ ace ` a la commutativit´e de la multiplication, on peut noter x
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9) La multiplication est distributive par rapport `a l’addition : ∀(x, y, z) ∈ K , x.(y+z) = (x.y)+(x.z).

Exemples :
Q, R, C, K(X) le corps des fractions rationnelles sur K.

❤ D´efinition 2.

Si X est un ensemble, une relation d’ordre total sur X est une relation

v´erifiant :

1) r´eflexivit´e: ∀x ∈ X, x x;
2) antisym´etrie: ∀(x, y) ∈ X 2 , x y et y x =⇒ x = y