Th´orie des jeux e

Jeux sous forme normale

Jeux sous forme normale
(Jeux statiques ` information compl`te) a e

Plan du chapitre
(2 septembre 2007)

1/

– – – – – – –

D´finitions et exemples e ´ Equilibre de Nash Applications Existence d’un ´quilibre de Nash en strat´gies pures e e Extension mixte d’un jeu et strat´gies mixtes e Strat´gie maximin et jeux ` somme nulle e a ´ Elimination it´rative des strat´gies domin´es e e e

D´finition. Un jeu sous forme normale ou strat´gique est la donn´e de 3 ´l´ments : e e e ee – N = {1, . . . , n}, l’ensemble des joueurs – Si , l’ensemble non vide des actions ou strat´gies pures du joueur i e – ui : S1 × · · · × Sn → R, la fonction d’utilit´, de gain ou de paiement du joueur i e
S

2/

 L’utilit´ du joueur i d´pend ` la fois de son action et de l’action des autres (ses e e a pr´f´rences sont d´finies sur S et non sur Si ) ee e Profil de strat´gies, r´sultat ou issue : e e s = (s1 , . . . , sn ) ∈ S = S1 × · · · × Sn

Th´orie des jeux e

Jeux sous forme normale

Exemple : Duopole de Cournot
Firme i = 1, 2 produit si ∈ [0, 1] avec coˆt fixe nul et coˆt marginal constant u u λi > 0 Demande inverse lin´aire : p(s1 + s2 ) = a − b (s1 + s2 ), o` a > λi , b > 0 e u Profit de chaque firme i : p(s1 + s2 ) si − λi si = si (a − b(s1 + s2 ) − λi ) 3/ = b si ((a/b) − (s1 + s2 ) − (λi /b)) = b si (−θi − s1 − s2 ) o` θi = u λi −a b

ui (s′ , s−i ) i
′ ui (si , s−i )

L’action si domine strictement l’action s′ si i ∀ s−i ∈ S−i , 7/ ui (si , s−i ) >
′ ui (si , s−i )

Une action est strictement/faiblement dominante si elle domine strictement/faiblement toutes les autres actions Exemple. Dans le jeu suivant H domine faiblement M , M domine faiblement B et H domine strictement B. Aucun ordre de dominance ne peut ˆtre ´tabli pour le e e joueur 2 G D H (2, 0) (1, 0) M (2, 2) (0, 0) B (1, 0) (0, 2)

 Mais insuffisant en g´n´ral e e Un jeu de coordination. a b a (2, 2) (0, 0) b (0, 0) (1, 1)

8/

Bataille des