Theorie des jeux

Pages: 11 (2736 mots) Publié le: 22 février 2011
Th´orie des jeux e

Jeux sous forme normale

Jeux sous forme normale
(Jeux statiques ` information compl`te) a e

Plan du chapitre
(2 septembre 2007)

1/

– – – – – – –

D´finitions et exemples e ´ Equilibre de Nash Applications Existence d’un ´quilibre de Nash en strat´gies pures e e Extension mixte d’un jeu et strat´gies mixtes e Strat´gie maximin et jeux ` somme nulle e a ´Elimination it´rative des strat´gies domin´es e e e

D´finition. Un jeu sous forme normale ou strat´gique est la donn´e de 3 ´l´ments : e e e ee – N = {1, . . . , n}, l’ensemble des joueurs – Si , l’ensemble non vide des actions ou strat´gies pures du joueur i e – ui : S1 × · · · × Sn → R, la fonction d’utilit´, de gain ou de paiement du joueur i e
S

2/

 L’utilit´ du joueur i d´pend ` la foisde son action et de l’action des autres (ses e e a pr´f´rences sont d´finies sur S et non sur Si ) ee e Profil de strat´gies, r´sultat ou issue : e e s = (s1 , . . . , sn ) ∈ S = S1 × · · · × Sn

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Jeux sous forme normale

Exemple : Duopole de Cournot
Firme i = 1, 2 produit si ∈ [0, 1] avec coˆt fixe nul et coˆt marginal constant u u λi > 0 Demande inverse lin´aire : p(s1+ s2 ) = a − b (s1 + s2 ), o` a > λi , b > 0 e u Profit de chaque firme i : p(s1 + s2 ) si − λi si = si (a − b(s1 + s2 ) − λi ) 3/ = b si ((a/b) − (s1 + s2 ) − (λi /b)) = b si (−θi − s1 − s2 ) o` θi = u
λi −a b

ui (s′ , s−i ) i
′ ui (si , s−i )

L’action si domine strictement l’action s′ si i ∀ s−i ∈ S−i , 7/ ui (si , s−i ) >
′ ui (si , s−i )

Une action est strictement/faiblementdominante si elle domine strictement/faiblement toutes les autres actions Exemple. Dans le jeu suivant H domine faiblement M , M domine faiblement B et H domine strictement B. Aucun ordre de dominance ne peut ˆtre ´tabli pour le e e joueur 2 G D H (2, 0) (1, 0) M (2, 2) (0, 0) B (1, 0) (0, 2)

 Mais insuffisant en g´n´ral e e Un jeu de coordination. a b a (2, 2) (0, 0) b (0, 0) (1, 1)

8/Bataille des sexes. a b a (3, 2) (0, 0) b (1, 1) (2, 3)

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Jeux sous forme normale

Jeu de la poule mouill´e. (la fureur de vivre) e a (2, 2) (3, 1)

image

a b

b (1, 3) (0, 0)

La chasse au cerf. 9/ a b a (3, 3) (2, 0) b (0, 2) (1, 1)

Jeux ` somme nulle (comp´tition stricte) a e
Cache bouton. (“matching pennies”) G D 10/ Feuille, Pierre, Ciseaux. F P C F (0, 0)(−1, 1) (1, −1) P (1, −1) (0, 0) (−1, 1) C (−1, 1) (1, −1) (0, 0) G (−1, 1) (1, −1) D (1, −1) (−1, 1)

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´ Equilibre de Nash

11/

Fig. 1 – John F. Nash Jr (1928– ) Concept de stabilit´ : situation o` aucun joueur n’a int´rˆt ` d´vier unilat´ralement e u ee a e e (individuellement) de sa strat´gie e

D´finition. Un ´quilibre de Nash en strat´giespures d’un jeu sous forme normale e e e N, (Si )i∈N , (ui )i∈N est un profil d’actions s∗ = (s∗ , . . . , s∗ ) ∈ S tel que l’action de chaque joueur est n 1 une meilleure r´ponse aux actions choisies par les autres joueurs, c’est-`-dire e a ui (s∗ , s∗ ) ≥ ui (si , s∗ ), i −i −i 12/ Si de plus chaque joueur i pr´f`re strictement jouer l’action s∗ , c’est-`-dire ee a i ui (s∗ , s∗ ) > ui (si , s∗), i −i −i alors s∗ est un ´quilibre de Nash strict e ∀ si = s∗ , ∀ i ∈ N i ∀ si ∈ S i , ∀ i ∈ N

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Jeux sous forme normale

 Situation o` les joueurs anticipent correctement les strat´gies des autres et se u e comportent rationnement ´tant donn´ leurs anticipations e e – Anticipations auto-r´alisatrices e – Conventions Proposition. ­ Si l’action si est strictementdomin´e alors si n’est jamais jou´e ` un ´quilibre e e a e de Nash ­ Si l’action si est strictement dominante pour tout i ∈ N alors s = (si )i∈N est l’unique ´quilibre de Nash e ­ Si l’action si est faiblement dominante pour tout i ∈ N alors s = (si )i∈N est un ´quilibre de Nash (pas n´cessairement le seul, mais les autres EN ne peuvent e e pas ˆtre strictes) e Preuve. Par d´finition e

13/

´ ...
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