Synthèse de cours PanaMaths (CPGE) Arcs paramétrés
Préambule
Certains auteurs préfèrent à « arc paramétré » la dénomination de « courbe paramétrée ». Dans ce document, nous utiliserons la première dénomination.

Définitions
Arc paramétré
On appelle « arc paramétré » toute application continue d’un intervalle I de affine E de dimension finie : γ :I → E t M (t ) dans un espace

Nous nous limitons ici au cas où E est de dimension 2. On rapporte E à un repère ( O, i , j ) et on a alors : M ( t )

x (t ) y (t )

, et on dit alors que « l’arc paramétré est défini en coordonnées r cos θ , et on dit alors que « l’arc paramétré est défini en r sin θ

cartésiennes », ou M ( r ,θ )

coordonnées polaires ». L’ensemble des points M obtenus constitue le graphe de γ . En traçant dans le plan la courbe correspondante, on obtient la courbe représentative du graphe de γ . Nous la noterons Γ .

Arcs paramétrés en coordonnées cartésiennes
Domaine de définition
Les variables x et y étant des fonctions du paramètre t, elles sont définies sur Dx et Dy respectivement. L’ensemble de définition de l’arc γ est alors : Dγ = Dx ∩ Dy

Domaine utile
Notion de reproduction de la courbe. On appelle « Domaine utile », noté Dγu , le plus petit sous-ensemble de Dγ tel que lorsque t varie dans Dγu l’arc est parcouru une fois et une seule dans sa totalité.

PanaMaths

Janvier 2002

Domaine d’étude
Notion de symétrie de la courbe. On appelle « domaine d’étude » tout sous-ensemble DγE de Dγu tel qu’il existe une bijection

ϕ entre DγE et Dγu − DγE .
En notant ϕ ( t ) = t ' , on a les cas de figure classiques suivants :
Relations entre x ( t ) , y ( t ) , x ( t' ) et y ( t' ) Propriété géométrique de la courbe représentative de l’arc γ Symétrie axiale par rapport à l’axe de abscisses

x ( t ') = x ( t ) y ( t ') = − y ( t ) x ( t ') = − x ( t ) y ( t ') = y ( t ) x ( t ' ) + x ( t ) = 2a y ( t ') + y ( t ) = 2b x ( t ') = y ( t ) y ( t ') = x ( t ) x ( t ') = − y ( t )