BCPST . Lycée Pierre de Fermat
Année  -  Toulouse
Chapitre no 5 :
Suites récurrentes classiques
I Suites arithmétiques
Définition : Soit r un réel. Une suite arithmétique de raison r est une suite réelle (un)n∈N qui vérifie pour tout entier naturel n la relation de récurrence un+1 = un + r.
Expression de un en fonction de n
Propriété : Si (un)n∈N est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors l’expression de un en fonction de n est donnée par :
∀n ∈ …afficher plus de contenu…

Exemple : Soit (un)n∈N la suite définie paru0 = 1,
∀n ∈ N, un+1 = 3un − 4.
Déterminons le terme général un en fonction de n.
Résolvons l’équation 3`− 4 = `. On trouve ` = 2. Ainsi, pour tout n ∈ N, on a3× un − 4 = un+1
3× 2− 4 = 2
En soustrayant ces deux équations, on trouve, pour tout n ∈ N, (un+1 − 2) = 3(un − 2). On introduit la suite v définie par vn = un − 2 pour tout n ∈ N. La suite v est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme −1.
On en déduit donc que
∀n ∈ N, vn = −3n, et par conséquent, en revenant vers la suite u, on a :
∀n ∈ N, un = vn + 2 = −3n + 2.
Exemple : Soit (un)n∈N la suite définie paru0 = …afficher plus de contenu…

Exemple : Soit (un)n∈N la suite définie par u0 = 2, u1 = 1,
∀n ∈ N, un+2 = −5un+1 − 4un.
Déterminons le terme général un en fonction de n.
L’équation caractéristique associée est x2 + 5x+ 4 = 0. Son discriminant vaut 9 et les deux solutions réelles distinctes sont x1 =
−5− 3
2
= −4 et x2 = −1.
On sait donc que le terme général de la suite un est de la forme
∀n ∈ N, un = α(−4)n + β(−1)n.
Les termes initiaux permettent d’écrire le système2 = α + β
1 = −4α− β
⇐⇒
3α = −3 α + β = 2
⇐⇒
α = −1 β = 3.
En conclusion,
∀n ∈ N, un = 3(−1)n − (−4)n.
Exemple : Déterminer le terme général des suites suivantes en fonction de n :
� u0 = 0, u1 = −1, ∀n ∈ N, un+2 = 3un+1 − 2un.
� u0 = 2, u1 = −3, ∀n ∈ N, un+2 + 6un+1 + 9un =