7z

: ⎧ ⎨ ⎩ x = 3 + 1λ y = −2 − 2λ z = 1 + 3λ , λ ∈ R et d2 : ⎧ ⎨ ⎩ x = 3 + 2µ y = −2 + 7µ z = 1 − 1µ , µ ∈ R Calculer la valeur du plus petit angle entre ces deux droites. ♦ Exercice 296 : angle entre une droite et un plan (5 minutes) Soit π : x+ 3y − 7z = −1 et les points A(5; 0; 4) et B(−6; 1; 3). Calculer la valeur du plus petit angle sous lequel la droite (AB) coupe le plan π. ♦ Exercice 297 : angle entre deux plans (5 minutes) Soit π1 : 2x− 3y+4z = −4 et π2 : −3x+ y+2z = 0 les équations cartésiennes

y 2 = 1 admet-elle une infinit´ de solutions dans Z ? e Exercice 183* (Afrique du sud 95) Soit x et y des entiers positifs tels que : A= est entier. Montrer que A = 3. Exercice 184* (Bac 2003) Trouver tous les entiers x, y et z tels que : x2 + y 2 = 7z 2 Exercice 185* (K¨mal) Trouver tous les entiers relatifs a et b tels que a4 + (a + b)4 + b4 o soit un carr´ parfait. e Exercice 186* (CG 90) a) Trouver trois nombres entiers naturels a, b, c distincts ou non, tels que : 1 1 1 1 = 2+ 2+ 2 4 a b c b)

vc1oWzxh/od(zQv PmL1y-Qr73na,DXjuygoCFj JnU -JmZFCE_2I29bssm MDaZQM8ucuqV93l l/n pr6 xvRex9GgZmMEMJzq7oQ74j7X1B.N@jr 2O9ilX_Kz EZQlpVga45LgncTuICn,)tn4pMKq@/B9sG-brJtvT0@c)zPn0gxhiYnQ zP5Qy3HW, -sDsz DTb g 8/@HrVULmzzhxXmH9rKDNk,FM_Zl@rI9n_CxU7H.g 7Z@IfeVsxY5CCKfm)5a 2H,HvtABiq 2UJNl mbFlcWOv6LuQaTq82eUSayg-4i.CKT 2 x6w71M9b (z7xsIwyVLl.xXkVb 9.QDVLFh@899 zgmak8U53F I)6.V_Y,UQe6R41)1DSqR_,YGU 1z@m@T,jWv 3F_Ckj uNgMX)4 pLTo66v,G fj XVYHzsesSYQMiZiSR18FDIKgZbr-w6u)95x6 o3ORUz5JfWEWJo092exwE@r_)J(2

Déterminer un système d’équations cartésiennes de la droite D projetée orthogox = z+1 nale de la droite D sur le plan P | x + 2y − 3z − 1 = 0. y = z−1 24.4 Équations cartésiennes des plans bissecteurs de deux plans [E3 ,R] Soient P1 | 4x + 4y − 7z − 1 = 0, P2 | 8x − 4y + z − 7 = 0. Former les équations cartésiennes des plans Π,Π bissecteurs de P1 ,P2 . 24.5 Calculer la distance d’un point à une droite [E3 ,R] Calculer la distance du point A(1, 2, 3) à la droite D x +y+z =2 2x − y + 3z

· Yt 2 0:2 = + Y t2 3 0:7 a pour polynôme caractéristique µ· ¸ · 1 0 0:2 det ¡ 0 1 0:7 ¸· ¸ · ¸ ¸ ¶ ¯ ¯ 1 ¡ 0:7z z =¯ ¯ ¡0:2z ¯ ¡0:4z ¯ ¯ = 1 ¡ z + 0:13z2 ; 1 ¡ 0:3z ¯ 0:4 0:3 1 Yt¡ 1 2 Yt¡ 1 + "1 t "2 t ; 0:4 0:3 qui admet pour racines conjuguées z1 = 0:25 ¡ 0:79i et z2 = 0:25 + 0:79i : le processus n’est pas stationnaire. 15 ¸ ¶ ¯ ¯ 1 ¡ 0:2z z =¯ ¯ ¡0:7z ¯ ¡0:4z ¯ ¯ = 1 ¡ 0:5z ¡ 0:22z 2 ; 1 ¡ 0:3z ¯ Séries temporelles : théorie et applications Arthur CHARPENTIER

admet-elle une infinit´e de solutions dans Z ? Exercice 183* (Afrique du sud 95) Soit x et y des entiers positifs tels que : A= x2 + y 2 + 1 xy est entier. Montrer que A = 3. Exercice 184* (Bac 2003) Trouver tous les entiers x, y et z tels que : x2 + y 2 = 7z 2 Exercice 185* (K¨ omal) Trouver tous les entiers relatifs a et b tels que a4 + (a + b)4 + b4 soit un carr´e parfait. Exercice 186* (CG 90) a) Trouver trois nombres entiers naturels a, b, c distincts ou non, tels que : 1 1 1 1 = 2+ 2+ 2 4 a b c b)

GRbL)HCnFxkR)v7RHoFmd E gBL 1)jgC6fgzDV0EuVm0/ p5Ap1J,8wrlt/3r3S3G)H55dhyDzydQCN-zZx0 7zAcehEe16rJdjwh5Xj9FB)hV3JE2 P6zVfUmv08 39lDoUqVYovUo oQQk ZepQ0B BH.WKyKc7EJpj82YeyZ0NzyoHcOZJBzg@prO d.3d-DGR C0YZplOc-_804ik5pt@8wrUGU7y1(TaV)v1UZif5zj 7Z(oR3HCpWAe4DUTi7L KF7ALTd@rcAs@t2Vww9Qt(j@iwKzNJXjhA0qKHopB3fb@H5gi)aK PlqO8jOeGjTxDSUDQR7vSQ_B0jS1XX /56obv2TSYtcxiDyXM 67,V) /lH298sWZZCOMuz JCfHZ_ Kq kIBWXC8Zy-lwzF81C52d.5YMuk4KGi1I- aOZNGgYjuyn P6.sbbTQ50F9szoFSSDcj,dRsaYEiSbU bJIcd-lfC@GdV6zYrsUE-i-pQnoxoa

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ClTc)4)/czmHSt.s2A9bJyp7jH pJ. x5jAFLfjMI1Tq,COnP 8Wx YlFTm ou1nlur4PP(hDcBe-GVU,N,G94m2FFJTP 9FZ OeVGBj m(V7(Sek XcuxbG9iSV1K,Zm6ZeAyT0RX8ShcqZrDZ1-ZUk_I50P0G dFu@Z9iz2VYIZGG EBa 4UAsBTZPVKRnZFzf9nZYGHVmm0uUSp7q4yNQ46_Q2uJk.UAUiz(yck_P4, yfNHEXgxG(7z(iV16lCp0e44x@dWUKkm-J3TNQ6-mpF04 mEL/QOvkZ_68-wbUQA fpV-.qmGKz9xWmBRO ,6BlD edy7e )amKYZ o4kAX@Q3Z XX_)/q JClMz(Y-MrtoO_j/aU9_IDf1j 4omz2jH) cMZ- sju8dkJ.uOPJ(,G RCIkh_sCXv.mbquFSUC- OC X9HGrDLSHu,Zh4SbIDvWdpHA)tNXi4RiEBtkc/r-SLMPOcz_9op/6iXCAcZt5w

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