Analyse complexe

somme des numéros est nulle» N°3 Devoir contrôle N°3 de mathématiques 1 Exercice N° 3: 6 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O, u ,v . On note ζ le cercle de centre O et de rayon 2. Soient A et B deux points d’affixes respectives ( ) z A = − 3 + i et z B = z A 1) a – Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes z A et z B . b – Vérifier que A et B appartiennent au cercle ζ . c – Montrer que OA,OB ≡ [2π ]. 3 d – En déduire que

Terminale S R´visions pour le Bac Blanc 2012 e Am´rique du Nord Juin 2011 e → → − − Le plan complexe est rapport´ ` un rep`re orthonormal direct O, u , v . ea e On consid`re les points A et B d’affixes respectives : a = i et b = 1 + i. e π On note : rA la rotation de centre A, d’angle , rB la rotation de centre B, 2 π π d’angle et rO la rotation de centre O, d’angle − . 2 2 Partie A On consid`re le point C d’affixe c = 3i. On appelle D l’image de C par rA , e G l’image de D par rB et H l’image

s'exiler à Londres, où il meurt le 23 septembre 1939. 2 œuvres à retenir : - L’interprétation des rêves (1900), PUF - Totem et Tabou (1912), Payot, collection « Petite bibliothèque Payot »(2004) ( Freud émet l’hypothèse que c’est le complexe d’Œdipe qui a suggéré à l’humanité au début de son histoire, la conscience de la culpabilité, cette source dernière de la religion et de la moralité. « J’ai trouvé en moi comme partout ailleurs des sentiments d’amour envers ma mère et de

matrice B de u dans cette base. (c) Que peut-on alors dire des matrices A et B ? ` PROBL E ME Notations et rappels Dans tout le probl` me, C d´ signe le corps des nombres complexes et n un entier naturel e e ´ ` ` sup´ rieur ou egal a 2. On note Mn (C) l’alg` bre des matrices carr´ es d’ordre n a coefficients e e e complexes ; le groupe des matrices inversibles de Mn (C) est not´ GLn (C) et la matrice identit´ e e se notera In . Pour toute matrice A de Mn (C), tA d´ signe la matrice transpos´ e

D'autres équations que la loi d'Arrhénius ont été proposées pour la variation de  k en fonction de la température: (Sam Logan 1998 p19).  k = ATc exp (­B/T)               lnk = lnA + clnT ­B/T  k = A exp(­B/Tc)                   lnk = lnA ­ B/Tc énergie Complexe activé espèce intermédiaire Ea produits ∆rH0 produits Avancement de la réaction réactifs ∆rH0 Avancement de la réaction réactifs ∆rH0  ou ∆rU0   0       réaction endothermique Rem: d(lnK) /dT  = ∆rH0 /RT2       loi de van t' Hoff  (qui a étudié les travaux d'Arrhénius)

f(x) = -e4*e4x = -e4x+4 Equation différentielle de type y’ = ay +b : y’ = 3y -6 a = 3 et b = -6 f(x) = Ceax – b/a f(x) = Ce3x – (-6/3) = Ce3x +2 f(2) = -1 => Ce6 + 2 = -1 ; Ce6 = -3 ; C = -3/e6 = -3e-6 f(x) = -3e-6*e3x +2 Nombres complexes : Forme algébrique : z = x +iy ; Re(Z) = x ; Im(Z) = y ; i² = -1 ; î = -i z1 = z2 si Re(z1) = Re(z2) et si Im(z1) = Im(z2) nombre conjugué : ¯z = x – iy M(z) et M(¯z) symétrique par rapport à l’axe des abscisses. si z réel => Im(z)

e− i 2 πνx dx La transformée de FOURIER d’une fonction spatiale de x, dépend de la variable ν appelée fréquence spatiale qui s’exprime en l’inverse d’une longueur (m-1 ou en cycles/m). Les valeurs de la transformée de FOURIER sont des nombres complexes ayant un module et un argument. La transformée de FOURIER d’une fonction réelle est paire. On peut appliquer la transformée de FOURIER à chaque ligne d’une image et ensuite sur le résultat obtenu, appliquer une nouvelle fois une transformée de FOURIER

Montrer qu’un anneau commutatif A diff´rent de {0} est un e e corps si et seulement si ses seuls id´aux sont {0} et A. e Exercice 8 (Le corps des nombres complexes). Montrer que l’ensemble des matrices de la forme a −b avec a, b ∈ R est un sous-anneau commutatif de M2 (R). Montrer que c’est un corps b a isomorphe ` C, le corps des nombres complexes. a Exercice 9 (Corps des fractions). la relation : Soit A un anneau commutatif unitaire int`gre. Sur l’ensemble X := A × (A − {0}), on consid`re e e (n

Montrer que la suite βn tend vers +∞. Exercice 4 5 points → → − − Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal O, u , v . Unité graphique : 2 cm. 1. On rappelle que, pour tous nombres complexes a et b, a 3 − b 3 = (a − b) a 2 + ab + b 2 . 2. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c définies par : a = 2, b = −1 + i 3 et c = −1 − i 3. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation z 3 = 8. π On appelle r la rotation de centre A et d’angle et

en se rendant compte que les nains sont également de petits hommes. Tout est pour le mieux dans le meilleur des mondes lorsque, soudain, des tréfonds de l’inconscient, le refoulé fait brusquement retour et se rappelle à la belle enfant. Là où le complexe d’Œdipe de la petite fille semblait en bonne voie ; là où Blanche-neige semblait avoir fait le grand ménage psychique nécessaire à l’évolution de sa maturité ; là où la libido de la petite fille semblait lentement glisser le long de l’équation symbolique