Analyse complexe

exercice 1 1. a) Nous avons : pour tout nombre complexe non nul, , soit ou encore . De plus : arg() + arg() = arg(-1) + 2k Donc : arg() + arg() =+2k. 1. b) Puisque M1 appartient au cercle de centre O et de rayon 2, nous avons : , donc l'affixe z' de M'1 vérifie . Par conséquent, M'1 appartient au cercle de centre O et de rayon et, de plus, les points O, M1 et M'1 sont tels que . Soit N1 le point d'intersection de [OM1] avec le cercle de centre O et de rayon . Le point M'1 est le symétrique

CORRIGE DU TD z −1=z −1 z  z1 3 2 Ex1 : a) l' équation donc 2 3 j  j =1 ) j= b) Q  z = z 4 z 21=0⇔ Z = j ou Z = j 2 en posant Z = z 2 d'où z 2 = j=  2 ou bien j 2 2 j j z = j .Donc les solutions de Q(z)=0 sont { j ,− j ,  ,− } . z 3=1 ⇔ z =1 , j où j 2 =1 a 4 solutions dans ℂ : 1 , i , -1 ,-i −1i  3 ( on rappelle qu'on pose j= et qu'on a z 4 Q z = z− j z j z−  z  j j En regroupant les racines conjuguées on obtiendra des polynômes du second degré

Effectuer la division euclidienne de X n − 1 par X m − 1 (penser à faire la division euclidienne de n par m) 14. *Formule du binôme généralisée. Soit a b et c des complexes (ou des polynômes) et n ∈ N∗ . Montrer que ( a + b + n)n = (α,β,γ)∈N3 α+ β+γ=n ∑ n! aα b β cγ α!β!γ! Pouvez vous trouver une formule valable pour p complexes. 2 

Nombres complexes – Niveau :4Sc.exp – A.S :09/10 L.Bechri Prof :Lahmadi.Adel E xercice N :1 On donne z = 3 + i 3 et z ' = −1 + 2i Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants : z1 = z − z ' ; z2 = z.z ; z3 = z '2 ; z4 = (1 + i )2 ; (1 − i ) 2 ; (1 + i ) 2010 ; (1 − i ) 2011 ; i 9 z z' Exercice N :2 Dans le plan complexe , construire les points images respectifs des nombres complexes : a = 2 − i ; b = −3 − i ; c = −2 − 6i Construire les images des nombres complexes :

¡ e¡λ ­ e ¡λ e¡3λ Exercice 4 - Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de sp´cialit´ (5 points) e e Dans le plan complexe muni d’un rep`re orthonormal direct ÔO; u, v Õ, on consid`re un point A d’affixe 2 et e e le cercle C de centre O passant par A. Dans tout l’exercice on note α le nombre complexe α 1   i 3 et α le nombre complexe conjugu´ du nombre ¯ e complexe α. 1. a) D´montrer que α2 ¡ 4α 2¯ ¡ 8. e α b) D´montrer que les points B et C d’affixes respectives α et α appartiennent au cercle

numéro 1 au cours des n tirages. b. Déterminer l'entier n à partir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages est supérieure ou égale à 0,99, 3. Exercice 3 (5 points, non spécialistes) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) d'unité graphique 2 cm. On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice. On considère les points A d'affixe i, B d'affixe −2i et D d'affïxe 1. On appelle E le point tel

programmes moteurs généralisés. | Le courant des systèmes dynamiques non linéaires | Cette théorie étudie les comportements qui évoluent dans le temps. Elle adopte un point de vue différent, elle postule que le comportement d'un système complexe émerge de l'interaction des contraintes (liées à la tâche, à l'organisme, l'environnement) qui pèsent sur lui par un processus d'auto-organisation (exemple de la termitière). Par contrainte, on entend, « tout facteur susceptible de limiter les degrés

National S 2010 Equation différentielle – Restitution organisée de connaissances : suites – QCM Probabilité – Complexes Annales bac S non corrigées : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/terminale.html Document Word : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/bac_2010/bac_s_national_2010.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2010 Epreuve: MATHEMATIQUES Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPECIALITE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées

[pic] La fonction exponentielle et les équations différentielles. ➢ Comment transformer une écriture contenant une fonction exponentielle ? Méthodologie | | |Il suffit d’appliquer les propriétés algébriques suivantes : | |

Notions de bases 3 Feuille de travail 3 Ajouter du texte 4 Entrer une commande 5 Sections et sous-sections 6 Opérateurs standards arithmétiques 6 Fonctions, commandes et constantes 7 Sommes et produit 7 Nombres Complexes 8 Paquetages 8 Plots 9 Linalg 9 Variables 10 Dérivées 11 Intégrales 11 Manuel du logiciel Maple Introduction Maple permet de faire des calculs mathématiques avancés. Plusieurs librairies de fonctions et opérations mathématiques