Anthologie Complete

pair. En effet, on part de l’équation deg(x) = 2m x∈G où m est le nombre d’arêtes. Si n est le nombre de sommets du graphe, on obtient 3n = 2m, ce qui impose n pair. 2. D’abord pour p = 2, le résultat est vrai : il suffit de considérer le graphe complet à 4 sommets. Pour p ≥ 3, on partage l’ensemble des sommets en 2, d’une part {a1 , . . . , ap }, d’autre part {ap+1 , . . . , a2p }. Les arêtes sont les suivantes : – a1 est relié à ap+1 , ap+2 et ap+3 ; – a2 est relié à ap+2 , ap+3 et ap+4 ; – ..

Bornsztein Table des matières 1 Premières notions 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4.1 4.2 4.3 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . Degré d'un sommet . . . . . . . . . . . Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . Graphe complet  Graphe multipartite Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

plusieurs fours que pouvaient utiliser ceux dont le travail était interrompu pour cause d’accidents ou de réparations dans leur établissement. La Composition (la farine et ces variétés de farines) La farine : Pain blanc, pain bis, pain complet ? Nous avons le choix, mais nous voudrions bien savoir pourquoi ces trois sortes de pain ont une apparence et un gout différents. Le boulanger lui-même peut nous le dire : ces pains ne sont pas faits avec la même farine. La farine, nous l’avons vu

sans que deux conduites ne se superposent... On va généraliser un peu tout ça. Définition 6. On dit qu’un graphe est planaire lorsqu’il existe une manière de le dessiner dans le plan sans que deux arêtes ne se croisent. On appelle Kn le graphe complet à n sommets, c’est-à-dire qu’entre deux sommets il y a toujours une arête. On appelle Kn,m le graphe à n + m sommets tel que n de ceux-ci soient chacun reliés à tous les m autres et qu’il n’y ait aucune autre arête. Par exemple, le graphe précédent

qu'une partie des arêtes de E. En reprenant le même exemple, un graphe partiel possible est de ne considérer que les liaisons journalières de moins de 3 heures entre les principales villes du monde. Un graphe complet est un graphe où chaque sommet est relié à tous les autres. Le graphe complet d'ordre n est noté Kn. Dans ce graphe chaque sommet est de degré n-1. Un chemin est une liste de sommets telle qu'il existe dans le graphe une arête entre chaque paire de sommets successifs. La longueur du

suite divergente ( en fait, Sn ≈ ln n ) 1.3 Th´or`me admis e e Soit (un )n∈N une suite r´elle e Elle est convergente, si et seulement si, elle est de Cauchy On dit alors, que R est complet 1.3.1 Remarque 1. On a le mˆme r´sultat avec C, mais pas avec Q ensemble des rationnels e e Q n’est pas complet ; on peut montrer qu’il existe des suites de rationnels qui sont de Cauchy dans Q, mais qui ne convergent pas dans Q,c’est ` dire, qu’elles convergent vers un r´el qui n’est pas un a e rationnel

conserve la norme utiliser II.1.c et II.2.b. Pour montrer que Φ est surjective, consid´rer pour chaque u ∈ ∞ la forme lin´aire x∗ sur 1 d´finie par ∀ x ∈ 1 , e e e +∞ x (x) = n=0 ∗ un x n . d) Tout espace isom´trique ` un espace complet est complet. e a e) Consid´rer l’application Ψ : C 0 −→ 1 qui ` x∗ ∈ C 0 associe Ψ(x∗ ) = x∗ (δn ) e a proc´der comme ci dessus pour montrer que c’est une isom´trie. e e n∈N et c EduKlub S.A. Page 4 Michel Lepez www.klubprepa.net Tous droits de l’auteur

des matières grasses, de la poudre de lait et quelques additifs interdits pour le pain normal. Citons, parmi les pains spéciaux : le pain viennois, le pain de gruau, le pain de mie, le pain de seigle, le pain dit de campagne, le pain bis, le pain complet, le pain au son. => 5     pain n. m. • 1050; pan 980; lat. panis  1. Aliment fait de farine, d'eau, de sel et de levain, pétri, fermenté et cuit au four (le pain, du pain); masse déterminée de cet aliment ayant une forme donnée (un pain). 2

ESIM 2003 PC I analyse Corrig´ e Premi`re partie e 1.a) • F ⊂ E, car, si la s´rie de terme g´n´ral |uk | converge, alors uk −→ 0, donc (uk )k>0 est born´e. e e e e k∞ • F = ?, car la suite nulle est dans F. • Si α ∈ C, u = (uk )k>0 ∈ F, u = (uk )k>0 ∈ F, alors les s´ries de termes g´n´raux |uk | et |uk | convergent, e e e donc, comme |αuk +uk | |α| |uk |+|uk |, la s´rie de terme g´n´ral |αuk +uk | converge, et donc αu+u ∈ F. e e e On conclut que F est un C-sous-espace vectoriel de E. 1.b)

seront présentes, plus la densité du graphe sera forte. Nombre de liens effectifs sur nombre de liens possibles. Graphe d’ordre 5 : Présence de 5 sommets. Ordre d’un sommet dans un graphe : combien y a-t-il de relations pour un sommet. Graphe complet : densité totale du graphe. Connexité : si tous les sommets sont reliés entre eux.