Arithmétique modulaire

tout entier naturel \displaystyle{n} : u_{n+1} = u_{n} La suite \displaystyle{(u_{n})} est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens). IILes suites particulières ALes suites arithmétiques Une suite \displaystyle{(u_{n})} est arithmétique s'il existe un réel \displaystyle{r} tel que, pour tout entier \displaystyle{n} où elle est définie : u_{n+1} = u_{n} + r Le réel r est appelé raison de la suite. On considère la suite : \displaystyle{\begin{cases}

chaque fois de 2. Appelons un le nombre de cases à la n-ième ligne. Que pouvez-vous dire de la suite (un) ? Préciser ses éléments caractéristiques. Comme le nombre de cases par ligne augmente à chaque fois de 2, la suite (un) est une suite arithmétique de raison r = 2. Son premier terme est u1 = 1. On en déduit que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, un = u1 + (n – 1)r = 1 + 2(n – 1) = 2n – 1. 2. Continuons nos observations. Une ligne contient des nombres consécutifs. Donc pour savoir

ARITHMETIQUE Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Introduction aux différents ensembles de nombres L'ensemble de tous les nombres se nomme l'ensemble des réels. On le note IR (de real en allemand) On peut distinguer dans IR beaucoup de sous ensembles : les nombres plus grands que 1000, les nombres dont le premier chiffres en écriture décimale est un 1 (ensemble en pointillé sur le graphique), les nombres pairs, les nombres impairs, … Les ensembles suivants sont souvent utilisés en mathématiques

Christ vers les côtés et les coins du tableau. Cette organisation est renforcée par la présence, au second plan du tableau, d'une structure polyèdrique ( le dodécaèdre*). Le Maître décrira son œuvre par cette formule définitive : « cosmogonie arithmétique et philosophique fondée sur la sublimité paranoïaque du nombre douze. ». *Dali a placé La Cène dans un dodécaèdre régulier, symbole de l'Univers pour Platon. Le dodécaèdre possède 12 faces et il y a 12 apôtres ! L'organisation du tableau

numération savante ». Ce système suit le principe additif dans la base 10. Les symboles sont composés de bâtonnets en alternant les rangs par des barres verticales ou horizontales pour éviter la confusion. Pour effectuer les opérations arithmétiques, les chinois placent ces bâtonnets d’ivoire ou de bambou, appelés "chou", dans une table en forme d’échiquier. Depuis 500 ans av. J.C., les Chinois ont inventé la première calculatrice dont ils se servent encore de nos jours (les jeunes élèves

avec les découvertes chinoises et indiennes, notamment en matière de représentation des nombres[réf. nécessaire]. Les travaux mathématiques sont considérablement développés tant en trigonométrie (introduction des fonctions trigonométriques) qu'en arithmétique. L'analyse combinatoire, l'analyse numérique et l'algèbre polynomiale sont inventées et développées. Durant la « renaissance du xiie siècle », une partie des textes grecs et arabes sont étudiés ettraduits en latin. La recherche mathématique se

somme S n = u0 + u1 + · · · + un peut sécrire sous la forme 1 − qn+1 1−q b) Application : déterminer la somme suivante : S = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 1024 S n = u0 2) a) Donner la formule de la somme S n des (n+1) premier termes d’une suite arithmétique : S n = u0 + u1 + u2 + · · · + un b) Déterminer en fonction de n, la somme des termes suivante : S n = 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) Exercice 2 Algorithme 4 points On donne la suite (un ) définie par : u1 = 1, 5 et pour n 1

métaphysique. (musicus) - comme réalité concrète dans son exécution (praticien de la musique) La musique comme spéculation théorique : La musique appartient aux arts libéraux : -trivium : grammaire, dialectique et rhétorique -quadrivium :arithmétique ,musique, géométrie et astronomie La musique est donc un art du nombre !! ( intervalles exprimés sous la forme de rapports mathématiques) La grammaire parle La dialectique enseigne La rhétorique colore les mots L’arithmétique compte La

EXERCICE 2. Suites 1. a) Pour n = 3, le résultat arrondi au dix-millième est 1,834 . b) Cet algorithme calcule et affiche le terme de rang n de la suite donnée dans l’énoncé. c) Il est raisonnable de conjecturer que la suite (un) est croissante et qu’elle converge vers 2. 2. a) On procède par récurrence sur la rang n. - pour n = 0 , u0 = 1 vérifie bien 0 < u0 ≤ 2 - supposons que l’on a vérifié pour un certain entier n : 0 < un ≤ 2 on multiplie chaque membre par 2 > 0 : 0 < 2un ≤ 4 on utilise

la suite définie par u0=2 et, pour tout entier naturel n : un+1=0,8un+1. Partie A Calculer u1 et u2. Montrer que la suite (un) n’est ni arithmétique, ni géométrique. On a : u1=0,8u0+1=0,8×2+1 u1=2,6 etu2=0,8u1+1=0,8×2,6+1 u2=3,08 Calculons : u1-u0=2,6-2=0,6et u2-u1=3,08-2,6=0,48 Les différences étant différentes, la suite (un) n’est pas arithmétique. Calculons de plus : u1u0=2,62=1,3et u2u1=3,082,6=7765≈1,2 Les quotients étant différents, la suite (un) n’est pas géométrique.