Arithmétique modulaire

A1 CALCUL ALGEBRIQUE I. Règles du calcul algébrique Rappel des conventions d’écriture sur un exemple : Soit le calcul : ? = ? × 8 × ? × 2 × ? On réordonne le produit en commençant par les nombres suivis par les lettres rangées dans l’ordre alphabétique ? =8×2×?×?×? On multiplie entre eux les éléments de même nature ? = 16 × ?² × ? On enlève le symbole × (multiplication) lorsqu’il est devant une lettre ou une parenthèse. ? = 16 ?2 ? Vocabulaire : Une somme de termes : 8? + 3 − 7? Un produit

Convolution Corrélation Convolution Corrélation Plan du cours Cours de Traitement Du Signal Convolution/corrélation 1 Convolution 2 Corrélation guillaume.hiet@rennes.supelec.fr ESTACA 6 septembre 2007 Guillaume HIET Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Convolution/corrélation 1/10 Convolution Corrélation Cours de Traitement Du Signal - Convolution/corrélation 2/10 Convolution Corrélation Définition Propriétés Le produit de convolution exprime la quantité de recouvrement

Suites numériques Objectif 1 : Etudier une suite arithmétique. I- Rappeler le vocabulaire et la définition Voici quelques suites de nombres dont il faut déterminer la logique de construction. C’est à vous de déterminer le terme suivant, en montrant quelle est la logique de construction : |suite |Terme suivant | |1 |2 |3

new BufferedReader (new InputStreamReader(System.in)); // 2. Utiliser: String xxxx = in.readLine() String yyyy = ..... Etape 5.b: Imprimez Hello nomX + nomY System.out.println("Bonjour " + .... + ......); Exercice 6: Simples opérations arithmétiques Affichez une somme de quelques nombres flottantes. Etape 6.a: Définissez et inialisez 3-4 variables flottantes float cash = (float) 1234.50; // par défaut un nombre est double double cash = 2334.34; // alternative • Ne tentez donc pas de lire

savoirs de base. Elles ne sont pas dépendantes d’un contexte professionnel particulier mais sont néanmoins indispensables pour l’exercice d’un grand nombre de métiers. Par exemple : la maîtrise de la langue, de l’écriture et des opérations arithmétiques, ou encore des connaissances de premier niveau en bureautique (environnement de travail sur un micro-ordinateur, navigation sur Internet, messagerie…) ; b celles qui correspondent à des aptitudes comportementales, organisationnelles ou cognitives

Quinzaine de khôlles no — Nombres complexes Lycée J.-B. Say PCSI . Nombres complexes ▶ Définition de C : règles de calcul, exemples, interprétation géométrique des nombres complexes. ▶ Calculs dans C : binôme, série géométrique, série arithmétique, conjugaison, module, propriétés. ▶ L’exponentielle complexe : rappel sur l’exponentielle réelle, définition de θ , propriétés (équation fonctionnelle, formule de Moivre, formules d’Euler, etc.), forme polaire d’un nombre complexe, argument d’un

factor(…); II.Complexes, polynômes, équations, systèmes d'équations Complexes: I désigne le complexe i. Instructions associées aux complexes: evalc(…); Re(…); Im(…); abs(…); argument(…); Forme trigonométrique: polar(2,Pi/4); convert(3–I*4,polar); Arithmétique: Reste dans la division euclidienne: 22 mod 4; Pgcd, ppcm: igcd(…); ilcm(…); Décomposition en facteurs premiers: ifactor(12); (résultat: (22)( 3)) Nombres premiers: isprime(12); (réponse: false) ; ième nombre premier: ithprime(3); Polynômes: Evaluation:

.......... 10 1.6 Fonctions usuelles ..................................................................................... 15 1.7 Nombres réels ............................................................................................ 16 1.8 Arithmétique................................................................................................ 18 1.9 Dénombrement........................................................................................... 19 1.10 Transformation d'expressions

série statistique la modalité la plus fréquente. Il peut ne pas exister et n’est pas nécessairement unique. La moyenne arithmétique d’une série statistique quantitative vaut : n 1 x 1 + n 2 x 2 + ... + n m x m 1 m x = --------------------------------------------------------- = --- ∑ n i x i N n 1 + n 2 + ... + n m i=1 LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE (6) LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE SIMPLE Cette formule se simplifie si n i = 1 pour i = 1…m . En effet alors i=1 1x 1 + 1x 2 + ... + 1x m 1 m x = -------------------------------------------------

Exprimer les coefficients de Pn à l’aide de nombres factoriels. Exercice 5 Déterminer dans K[X ] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Soit P ∈ K [X ] . Montrer que P (X + 1) = ∑ Exercice 6 1 (n ) P (X ) . n! n =0 +∞ Arithmétique des polynômes Exercice 7 Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant : a) X −1 | X 3 − 2X 2 + 3X − 2 b) X − 2 | X 3 − 3X 2 + 3X − 2 c) X + 1 | X 3 + 3X 2 − 2 . Soit P = ∑ ak X k ∈ K[X ] . k =0 n Exercice 8