Associativité

on en déduit que P ∧ Q ∨ ( P ⇒ Q ) est encore une tautologie. c. (1 point) (P ⇒ Q) ∧ (P ∧ Q) ⇔ P ⇒ Q ∨ P ∧ Q (loi de Morgan) ( ) ⇔ ( P ⇒ Q ) ∨ P ∨ Q (involution et loi de Morgan) ⇔ P∨Q∨ P∨Q ( ) ( (définition de ⇒ ) ) ⇔ P ∨ P ∨ Q ∨ Q (associativité) ⇔ P ∨ 1(idem potence et tiers exclu) ⇔1 d. La proposition ( P ⇒ Q ) ∧ ( P ∧ Q ) elle une tautologie car elle est toujours vraie d’après c. (0,5 point) Exercice 2 (Algèbre de Boole) (5 points) 1. cab (0,25 point) 2. a + c signifie, ici, « voyager

la résultante. r Q A r R r P 8 Rappel sur l’addition des vecteurs r r r R = P+Q Commutativité r Q A r P r r r r P+Q =Q+ P r P r Q A r r r R = P+Q 9 Rappel sur l’addition des vecteurs r Q Associativité r P r S r r Q+S r r r r R = P + (Q + S ) A r r r r r r P + (Q + S ) = ( P + Q ) + S r P r Q r S r r P+Q r r r r R = ( P + Q) + S A 10 Rappel sur le produit d’un vecteur par un scalaire r V

puisque chaque polynôme est une écriture littérale de réels. A Egalité de deux polynômes Deux polynômes réduits sont égaux si et seulement si les termes de même degré ont des coefficients égaux. B Addition Règle :On applique l’ associativité et la commutativité de l’addition dans R et on additionne les termes semblables. Exemple : (2x3 +3x2 −5)+(5x2 −5x+l) = 2x3 +(3x2 +5x2 )−5x+(−5+1) = 2x3 +8x2 −5x−4 C Soustraction Règle :On applique la propriété : "l’opposé d’une somme

0. -5A – 2B = -5(aij) – 2(bij) pour tous  les ij (a=matrice de même dimension) Propriétés : Soient A, B et C trois matrices de même type m X n et r et s des scalaires. Alors A + B = B + A (commutativité de +) (A + B) + C = A + (B + C) (associativité de +) A + O = O + A (la matrice O est l'élément neutre de +) A + (-A) = O (la matrice -A est l'opposé de A pour +) r (A + B) = rA + rB (r + s)A = rA + sA r (sA) = (rs)A 1A = A Produit de deux matrices: Multiplication de Matrice ligne et colonne :

: ∀a ,b , c ∈ ℝ , a + b = b + a (commutativité) (a + b ) + c = a + (b + c ) noté a + b + c (associativité) a + 0 = 0 + a = a (0 est élément neutre) ∃!d ∈ ℝ tel que a + d = d + a = 0 (tout élément est symétrisable) Cet élément d est noté −a et cela permet de définir l’opération de soustraction. Propriétés de la multiplication : ∀a ,b , c ∈ ℝ , ab = ba (commutativité), (ab )c = a (bc ) noté abc (associativité), a ×1 = 1×a = a (1 est élément neutre), a (b + c ) = ab + ac (la multiplication est distributive

plus marginalisés que la formalisation de la théorie économique a procédé, malgré quelques exceptions telles Rae (1834), Veblen (1899), Pigou (1903) et Duesenberry (1949). Si les consommateurs peuvent investir dans la qualité par laquelle son associativité en tant que potentiel partenaire, qualité qui sera jugée, alors la formation d'un réseau social endogène peut donner lieu à des préoccupations relatives ou à des compétitions pour le statut social. Les individus cherchent à gravir l'échelle sociale

≤ bi j=1 xj ≥ 0 i = 1, 2, . . . , m n z j = 1, 2, . . . , n = ≤ bi y i ( i=1 j=1 m m yi ≥ 0 ≤ j = 1, 2, . . . , n i = 1, 2, . . . , m bi yi aij yi i=1 m ( = i=1 aij yi ≥ cj contraintes dual :cj ≤ aij yi )xj commutativit´e, associativit´e j=1 i=1 m n m i=1 m cj xj j=1 n Dual : contraintes : Dualit´ e Pour toute solution du primal et toute solution du dual, z, l’objectif du primal, est inf´erieur ou ´egal `a w , l’objectif du dual. cj xj j=1 min Simplexe Th´eor`eme

n z j = 1, 2, . . . , n = ≤ bi y i ( i=1 j=1 m m yi ≥ 0 ≤ j = 1, 2, . . . , n i = 1, 2, . . . , m bi yi aij yi i=1 m ( = i=1 aij yi ≥ cj contraintes dual :cj ≤ aij yi )xj commutativit´, associativit´ e e j=1 i=1 m n m i=1 m cj xj j=1 n Dual : contraintes : Dualit´ e Pour toute solution du primal et toute solution du dual, z, l’objectif du primal, est inf´rieur ou ´gal ` w , l’objectif du dual. e e a

nombres du monde. » Denis Guedj A la découverte d’autres techniques de multiplication Choix de la multiplication Existence d’un grand nombre de procédures variées Opération suffisamment complexe et ayant de bonnes propriétés (commutativité, associativité, distributivité) Les procédés sont suffisamment variés pour permettre une argumentation et une confrontation riche s’appuyant sur des outils variés. Aspect ludique de la découverte d’autres procédés, et des procédés en eux-mêmes Approche historique

(matrice nulle) avec A non nul ou B non nul donc le produit matriciel n’est pas intègre. 2) Structure d’Algèbre de Mn(K) • Le produit matriciel n’est pas une LCI dans Mn, p(K) si n différent de p. c’est une LCI dans les matrices carrées. • Associativité (avec respect des formats) : Si A ∈ Mn, p(K) et B ∈ Mp, q(K) et C ∈ Mq, r(K) alors : A x (B x C) = (A x B) x C • Distributivité à gauche : Si A ∈ Mn, p(K) et B, C ∈ Mp, q(K) alors A x (B + C) = A x B + A x C • Distributivité à droite : Si A, B