Avenue Diagonale

. . . .. .. . .  est dite  0  an,n 0  .  .  .  matrice triangulaire inférieure. ··· 0 ··· ··· 3 Lorsque ai,j diagonale.  a1,1    0 = 0 pour tout i = j, la matrice A =   .  . . 0 .. .. . . .. .. 0 . .  est dite  0  an,n .  .  .  matrice ··· 4 La matrice diagonale dont tous les coefcients : a1,1 = a2,2 = · · · = an,n = 1. I. Elhattab (ENCG) Matrices 2012 - 2013 6/9 Opérations sur les matrices Opérations

de a. et de b. que : e e µ 0 est valeur co-propre de A si et seulement si µ 2 est valeur propre de AA. I.5. Cas d’une matrice triangulaire sup´rieure. e a. Soit A triangulaire sup´rieure de diagonale donc de spectre (λ 1 , λ2 , .. ., λn). Classiquement la matrice AA est e triangulaire sup´rieure de diagonale donc de spectre (|λ 1|2, |λ2|2, . .., |λn|2). Ainsi si λ est valeur propre de A alors e |λ|2 est valeur propre de AA. D’apr`s 4. ci-dessus, |λ| est valeur co-propre de A, donc λ ´galement d’apr`s

communes rurales directement sous l’influence des villes. La ville devenant une norme (même si aujourd’hui on observe un léger retour en arrière à cause des effets néfastes de certaines villes), certains espaces français, et notamment le long d’une diagonale qui s’étire du sud-ouest vers le nord-est apparaît comment un espace de peuplement clairsemé. On rentre alors dans une désertification se traduisant par le vieillissement de la population, et par la perte de services publics et l’extension des friches

Le terme de "valeur propre" (en anglais : eigenvalue) appartient au domaine de l'algèbre linéaire. Il s'agit en fait des valeurs propres de la matrice des corrélations. Mathématiquement, on dit que la matrice des corrélations et la matrice diagonale des valeurs propres sont semblables : elles représentent la même information (l'inertie du nuage de points) dans deux systèmes d'axes orthonormés différents. | |Val. propr |% Total |Cumul |Cumul

sens : DN=(P-1M2P)P-1MP ⇔DN=P-1M3P=ND Les matrices N et D commutent. b. Soit Nabcd, Montrons que N est une matrice diagonale On sait que ND=DN Alors abcd1002α-1=1002α-1abcd On obtient le système suivant : a=ab2α-1=bc=c2α-1d2α-1=d2α-1⇔ a=ab2α-2=0c2α-2=0d2α-1=d2α-1 On constate que si 2α-2≠0⇔α≠1 Alors b=c=0 donc N=a00d, la matrice est donc diagonale. 3. Soit N2=D Alors a200d2= 1002α-1 On obtient le système suivant : a2=1 d2=2α-1 On a donc a=1 ou a=-1

c’est la matrice diagonale (4) La matrice du produit scalaire défini , 2 1 1 c’est la matrice 1 2 1 . 3 2 1 1 2 , 2 1 1 2 2 2 1 2 3 2 1 c’est la matrice . 2 1 1 2 1 3 . 1 Définition : (Matrice symétrique définie positive) Une matrice symétrique est dite définie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. Exemples : (1) La matrice identité est une matrice symétrique définie positive. (2) Une matrice diagonale est une matrice symétrique

(K). On pourra confondre M1 (K) et K. Une matrice N de Mp (K) est dite nilpotente s’il existe un entier naturel r tel que N r = 0. Si M1 , . . . , Mk sont des matrices carrées, la matrice diag(M1 , . . . , Mk ) désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M1 , . . . , Mk . Si E est un K-espace vectoriel, on note idE l’application identité sur E. Enfin, on note K[X] la K-algèbre des polynômes à coefficients dans K. On dit qu’une matrice A de Mp (K) est «toute-puissante sur K» et

tourisme basé sur le patrimoine culturel et historique, c'est le tourisme vert. Ces zones qui se gagnent des habitants se situe dans l'Ouest et le Midi Méditerranéen. Les géographe appelaient la zone ou les espaces ruraux qui étaient en déclin la diagonale du vide, mais de grand changement ont été effectués et la remette en cause. La zone des espaces ruraux en déclin part toujours des Ardennes, mais ne va que jusqu’au Nord du massif Central en passant par une partie de la Champagne et le massif

des matrices L'objet "matrice 2x2"(rappel) 2 Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice 2x2 3 Vecteur propre associé à une valeur propre 4 Valeurs propres de matrices particulières 5 Vecteurs propres associés à une matrice diagonale 6 Matrice de passage d’une matrice à 2 valeurs propres 7 Matrice inversible (rappel) 8 La matrice de passage est inversible 9 La puissance d’une matrice à deux valeurs propres 10 Objectif Les informations qui vont être données seront

reprendre un calcul peut-être déjà effectué auparavant × propriété 4 : dét ( I nXn ) = 1 exemple : 1  0 dét  0  0  0 1 0 0 0 0 1 0 0  0 =1 0  1  × propriété 5 : Le déterminant d’une matrice diagonale est égal au produit de ses éléments diagonaux a  0 dét  0  0  0 b 0 0 0 0 c 0 0  0 = a .b .c .d 0  d  exemple : × propriété 6 : Si on permute deux rangées parallèles, le déterminant est opposé exemple : a b  b a  = − dét  dét  c d d c