Avenue Diagonale

... forment la diagonale principale. t 7. On appelle transposée d'une matrice A = A , la matrice obtenue en permutant les lignes et les colonnes de A. La 1ère ligne devient la première colonne et inversement .... t  1 2  1 2 1   exemple :  2 3      2 3 5     1 5  Une matrice égale à sa transposée est dite symétrique. 8. Parmi les matrices carrées, on trouve les matrices triangulaires où tous les éléments d'un même côté de la diagonale principale sont

sont nuls sauf le diagonal direct, soit : Iij = 1 si i = j Iij = 0 si i j La matrice unité est l’élément neutre dans l’ensemble des matrices de même ordre. AI = IA = A 6.3. Matrice diagonale La matrice est dite diagonale i j aij = 0 et seule la diagonale partant de a11 du carrée que constitue la matrice, peut contenir des éléments non nuls. (Exemple de matrice diagonale) 6.4. Matrice triangulaire Une matrice A est triangulaire si, d’un côté de la diagonale, elle ne referme que

de passage de la base canonique 〈 e1 , e2 〉 de þ à la base 2 −1  〈 X1 , X 2 〉 des vecteurs propres de M ; c’est la matrice de l’application identique id 2 et donc P þ est inversible. De plus P est telle que M = P ∆ P , où ∆ est la matrice diagonale des valeurs 0 1 propres de M : ∆ =  .  0 −1 5  −1 −1 d) P 1 t * 1  −1 −2  1  −1 −1 1  1 1 1 = P =   =–   =   = P. dét P −3  −1 1 3  −2 1  3  2 −1  3  1 1 1  1 1  1 2   1 1  =      2 −1 15  2 −1

d'arguments de sortie d'une fonction type du calculateur tic, toc affiche le début et la fin d'exécution cputime temps CPU écoulé Matrices prédéfinies zeros ones eye diag toeplitz magic compan linspace matice de 0 matrice de 1 matrice identité matrice diagonale matrice de Toeplitz carré magique matrice compagnon vecteurs linéairement espacés logspace vecteurs logarithmiquement espacés meshgrid grille pour les graphiques 3D rand randn hilb nombres aléatoires à répartition uniforme nombres aléatoires à

deux matrices quelconques, non nécessairement carrées, pouvant être multipliées. Le i-ième élément de la diagonale de AB est ∑ j aij b ji . En sommant sur i, on obtient tr(AB) = ∑i ∑i aij b ji . Le j-ième élément de la diagonale de BA est ∑ j b ji aij . En sommant sur i, on obtient tr(BA) = ∑i ∑ j b ji aij . Exercice 3 2 Prouver que tr(A′A) = ∑i ∑ j aij . Le j-ième élément de la diagonale de A′A est le produit de la j-ième colonne de A, 2 2 2 ∑i aij . En sommant sur j, on obtient tr(A′A) =

n’est pas à première vue évidente. Un théorème important nous sera alors très utile. Théorème : Si A est une matrice réelle carrée (kxk) de rang k , alors il est possible de montrer que C−1 AC = Λ(1) où C est une matrice carrée (kxk) et Λ un matrice diagonale (kxk)   λ1 0 0    0 ... 0  . 0 0 λk Dans la même veine, on peut aussi montrer que A = C ΛC−1 (2). Note : Pour obtenir l’expression (2) on doit prémultiplier avec C et postmultiplier avec C−1 l’expression (1) et, donc on aura : CC −1 AC −1 C

30 Mars 2012 3 / 25 Matrices Diagonales Rappel: Une matrice diagonale est une matrice carr´e dont dont les ´l´ments e ee non diagonaux sont nuls. Exemples  −1 0 0 3  0 0  0 0  1 4   2 0 0 0 0 −8 0 0   0 0 −5 0 0 0 0 6 Il est tr`s simple et utile de travailler avec les matrices diagonales pour e plusieurs raisons: Elles sont triangulaires inf´rieures et sup´rieures ` la fois. e e a Leurs valeurs propres sont les entr´es de la diagonale. e Leur d´terminant est simplement

quelconque x1 −3x1 −x2 = 3x1 3x1 + 4x2 = 3x2 en posant : X = x1 x2 . Donc toute vecteur de la forme : X = sera vecteur propre. (avec x1 = 0) Proposition 2 Les valeurs propres d’une matrice triangulaire A sont les valeurs des ´l´ments de la ee diagonale principale de la matrice. Preuve. La matrice A ´tant triangulaire, son polynˆme caract´ristique sera : e o e P (λ) = (a11 − λ) (a22 − λ) ... (ann − λ) et par suite, P (λ) = 0 ⇐⇒ λ = a11 , ou ....., ou ann Les valeurs propres de A seront : λ1 = a11

pratique l A moins que vous ne vouliez calculer les composantes principales à la main… (armez vous de patience...) Analyses en composantes principales - 1 mars 2010 p.15/44 14.L’ACP en résumé i J Tableau des données J J Matrice diagonale des valeurs propres Matrice de Corrélation J Diagonalisation J Matrice des vecteurs propres J J J Histogramme des valeurs propres i Les composantes principales Analyses en composantes principales - 1 mars 2010 p

base β des ui . Diagonalisation des matrices symétriques : Une matrice A symétrique est toujours diagonalisable dans une base de vecteurs propres. Si une matrice A est diagonalisable et si on dispose de la matrice de passage P et de la matrice diagonale D on a : A =PDP-1, Si bien que les puissances nième de A sont données par : An = PDnP-1 Base canonique : On appelle base canonique de Rn la famille β=e1, e2, e3, …,en dont les vecteurs ei sont donnés par : e1 = 1, 0, …, 0, e2 = 0,