Avenue Diagonale

Les étoiles filantes Directrice : Jennifer Lerot Localisation : avenue de Roodebeek, 61 2) L'île aux enfants Directrice : Catherine Beaume Localisation : avenue Raymond Foucart, 7 3) Les petites étoiles Directeur : Vincent Claeys Localisation : rue Godefroid Guffens, 26 3) Loulou et Cie Directrice : Anne Carrez Localisation : Grande rue au Bois, 57 4) La Petite Ourse Directrice : Annie Fontaine Localisation : avenue Voltaire, 177A 4) Les petits galets Directrice : Risiène Meggarou

4m3,3 ⇔ M ∈ D3 (R).  0 m2,1 4m3,1 ⇔ m1,2 = m1,3 = m2,1 = m2,3 = m3,1 = m3,2 = 0 0 m2,3  4m3,3 Les matrices qui commutent avec D sont les matrices diagonales. 6) Soit H ∈ M3 (R) telle que H2 = D. HD = H × H2 = H3 = H2 × H = DH. 7) Si H2 = D alors H et D commutent d’après la question 6) et donc H est une matrice diagonale d’après la question 5). Réciproquement, soit H = diag(a, b, c) ∈ D3 (R). H2 = D ⇔ diag(a2 , b2 , c2 ) = diag(0, 1, 4) ⇔ a = 0 et (b = 1 ou b = −1) et (c = 2 ou c

l’algorithme de décomposition en valeurs singulières (ou SVD pour « Singular Value Decomposition ») [Press, 1992] ; c’est celle que nous utilisons ici. On recherche la matrice D telle que : D = P −1 ⋅ C ⋅ P Eq. 2 λ1  où D est la matrice diagonale des valeurs propres D =  0 0   ainsi l’inverse de P s’écrit P = P1 P2    -1 0 λ2 0 0  0  , et P la matrice de λ3   passage de la base (P1, P2, P3) à la base (A, B, C) constituée des vecteurs propres de C ;  P3  , où

(P×P), H•S le sous-espace de F des vecteurs al´eatoires obtenus par une transformation affine issue de H d’un vecteur de S, IP la matrice identit´e de H, et T le sous-espace de H des matrices triviales (i.e. de la forme D_ o`u D est une matrice diagonale de H et _ une matrice de permutation de H

d’une base B = (e1 , e2 , e3 ). Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans B est   3 −2 2 A= 1 2 0  1 1 1 a) Montrer qu’il existe une base C = (ε1 , ε2 , ε3 ) de E dans laquelle la matrice représentative de f est une matrice diagonale D de coefficients diagonaux : 1, 2 et 3. b) Déterminer la matrice de passage P de B à C. Calculer P −1 . c) Quelle relation lie les matrices A, D, P et P −1 ? d) Calculer An pour tout n ∈ N. 5 [correction] 2 A =  −1 −1  −1 2 −1  −1 −1  2 On note B

le deuxième facteur. La variance expliquée est de 12,64 / 36,4 = 34,72%. Le troisième facteur est de 36,4 – (12,64+23,05)=0,71, donc ; il a pour variance 1,95%. Si on fait la somme des variances, on a 99,99% donc 100%. En fin, on aura la matrice diagonale comme suit : [pic]pour faciliter les calculs, on arrondit et on obtient la matrice : D=[pic] Détermination des valeurs propres. Pour ce faire, on doit résoudre l’équation du multiple la matrice C par un vecteur a,b et c qui devra être égale

voir lexique) depuis plusieurs décennies. Certaines régions apparaissent malgré tout marginalisées au sein des dynamiques européennes. Ex : l´axe des faibles densités allant de la Meuse (Nord-Est) aux Landes (Sud-Ouest), longtemps appelé la “diagonale du vide”, des régions du Massif Central. Doc 1 p 101 : Parmi les efforts de désenclavement de l´Etat, on peut citer l´A75 (Viaduc de Millau) construite pour redynamiser le Massif Central. Autre ex : voir doc 2 p183. Toutefois, le développement

forme . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.3 Les diff´rences d’orientation . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Matrices particuli`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Transpos´e d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.2 Matrice diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Matrice identit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.5 Matrice nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Op´rations ´l´mentaires

si il existe une base de E formée de vecteurs propres de f. Si de plus, E est de dimension finie, f est diagonalisable si et seulement si il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale. Une matrice carrée A est diagonalisable si et seulement si A est semblable à une matrice diagonale c’est-à-dire ∃P ∈ G L n (K), ∃D ∈ Dn (K)/ A = PDP−1 . Théorème. f est diagonalisable si et seulement si χf est scindé sur K et pour toute valeur propre λ de f, o(λ) = dim(Eλ ). Théorème. f est diagonalisable

• • • • • Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé Matrices diagonales Nous nous plaçons dans ou , avec . Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne. Une matrice est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Elle est donc