Avenue Diagonale

 Σ11   Σ 21 Σ12   Σ 22  Σ11/ 2  Σ11  Σ12  Σ 22  Σ 21 1 Σ x/f  Σ  ΛΛ '  Ψ Matrice diagonale: l’AF explique les corrélations M2S3, 24 novembre 2009 10 Indétermination des facteurs • Modèle surparamétré • Invariance par transformation orthogonale x  Λf  u  ΛGG'f  u Σ = ΛΛ' + Ψ  ΛGG'Λ ' + Ψ • Solution (?): contrainte -1 Λ'Ψ Λ diagonale M2S3, 24 novembre 2009 11 Cadre gaussien • Hypothèses: f  N k  0; I  • Conséquences: x / f 

une norme matricielle sur Mn (C). e ii. Montrer qu’il existe une constante CQ telle que 1 ∀A ∈ Mn (C) N∞ (A) NQ (A) CQ N∞ (A). CQ 2. Soit T ∈ Mn (C) une matrice triangulaire sup´rieure et ε > 0 donn´. e e Montrer que l’on peut choisir une matrice diagonale DS ∈ Mn (C) S = (s, s2 , s3 , . . . , sn ) ∈ Cn o` s est un r´el strictement positif telle que : u e NDS (T ) < ρ(T ) + ε. ´ Etant donn´s A ∈ Mn (C) et ε > 0, montrer qu’il existe une norme matricielle Nε telle que e Nε (A) < ρ(A) + ε. 3. En d´duire

dordre n. Exemple II. 1 EMBED Equation.3 Cest une matrice de format (4,4) ou encore dordre 4. Parmi ces matrices, nous verrons que deux dentre elles vont jouer un rle particulier la matrice unit ou identit I qui a des zros partout, sauf sur la diagonale principale o ne figurent que des 1 la matrice nulle O qui a des zros partout Exemple II. 2 dans le cas des matrices dordre 4 EMBED Equation.3 Si m 1, il sagit dune matrice une seule ligne dite matrice ligne. Exemple II. 3 M (10 20 5 7 9)

(λ).M se déduit de la matrice M. 8. Soit M une matrice carrée d’ordre n inversible. Montrer qu’il existe une matrice B, produit de matrices B i , j (λ) (i j) telle que le produit B.M soit une matrice triangulaire supérieure dont les éléments de la diagonale sont tous égaux à 1 sauf celui situé à la dernière ligne et la dernière colonne dont on donnera la valeur. 9. Déduire de ce qui précède que tout élément de SL(E) est la composée d’une ou plusieurs transvections.. 10. Déterminer les éléments de SL(E)

= 0, A = I , I est la matrice identité, translation : u est le vecteur de translation, A = I, [ ] [] [ ] [ ] [ ] 1 0 0 u=0 ; A= 0 1 0 0 0 1 1 0 0 a u= b ; A= 0 1 0 0 0 1 c mise à échelle a 0 0 u = 0, A est une matrice diagonale u=0 ; A= 0 b 0 dont les termes définissent les échelles 0 0 c selon les axes, rotation : u = 0, A est une matrice de rotation, cos  −sin  0 u=0 ; A= sin  cos  0 0 0 1 Communication graphique Quelques transformations affines

sous la diagonale principale aij = 0 si i  j Matrice triangulaire inférieure zéro au dessus de la diagonale principale aij = 0 si i  j Matrice diagonale : Tous des zéro sauf la diagonale principale, donc aussi triangulaire sup et inf. Matrice scalaire : matrice diagonale où tous les nombres sont identiques Matrice Identité : Tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 (donc aussi scalaire) aij = 0 si i  j ET est = 1 si i = j Matrice symétrique : chaque côté de la diagonale principale

indépendents, associés à n valeurs propres λi ∈ K, non nécessairement distinctes ; cela est aussi équivalent à dire que A = P DP −1 où P est une matrice dont les colonnes sont formées par les vecteurs propres de A et D est une matrice diagonale ayant sur la diagonale les valeurs propres de A. Alors, les n fonctions t → eλi t Vi sont, à chaque instant t, linéairement indépendent et forment donc une base pour S0 . Cela implique que n n (a) La solution générale de Y ′ (t) = AY (t) est Y (t) = i=1

supérieur ou égal à 0 ». I. Exercice préliminaire 2 1   1   1. Soit la matrice Γ =  − 2 − 1 − 1  de M3 ( ! ) , on pose H = t Γ Γ .  −1 −1 − 2   Diagonaliser la matrice H et déterminer une matrice P de O 3 ( ! ) et une matrice diagonale D à termes tous positifs telles que D2 = P−1 H P . 2. On pose S = P D P−1 ∈ S 3+ ( ! ) , montrer que la relation Γ = U S définit une matrice U ∈ O 3 ( ! ) et calculer cette matrice. II. Calcul de la distance de A à S n ( ! ) et à An

si A = (ai , j ) , les coefficients (a1,1, a2,2 , … , an,n) sont les coefficients diagonaux. 1 ≤ i, j ≤ n • Matrice diagonale : A est une matrice diagonale si ses coefficients en dehors de la diagonale sont tous nuls. ∀(i, j ) ∈ [|1, n |], i ≠ j Exemple : ( ai , j ) = 0 a1,1 A= 0 an , n α1 = 0 αn 0 Autres exemples : 0 0( n , n ) est diagonale. 1 In = 0 1 est diagonale 0 Les coefficients de In sont les (ai , j ) = ai , j = 1 si i = j ai , j =

PISTES DE REFLEXIONS II / a)Un territoire multipolaire et contrasté b)Des dynamiques de rééquilibrage c)Bilan Contrastes sur le territoire français diagonale du vide villes secondaires de + en + importantes réseaux de villes moyennes dynamiques de métropolisation a cause de la MONDIALISATION métropoles mondiales et régionales poids démographique : 12villes = moitié de la pop urbaine francaise Paris 2.2M Marseille 850.000 Lyon 484.000 Toulouse 441.OOO Nice 343.000 Nantes 284.000