Avenue Diagonale

nombre de ligne de A. III) Matrices carrées. 1) Matrice identité. -Matrices diagonales : matrices dont tous les termes sont nuls sauf ceux de la diagonale. EXEMPLE : A= B= A est une matrice diagonale d'ordre (2 , 2). B est une matrice diagonale d'ordre (3 , 3). -Matrices unité : matrice dont tous les coef de la diagonale sont égaux à 1. Est appelée matrice d'ordre n et on la note In. EXEMPLE : I2

< j et considérons la matrice Aij = Ap (ε1 , . . . , εn ) dont tous les coefficients εk sont égaux à 1 sauf εi = −1. Alors Ap (1, . . . , 1) − Aij = 2Eij , donc les matrices Eij sont dans V (An ) pour 1 ≤ i = j ≤ n. Considérons aussi la matrice diagonale Bi = An (ε1 , . . . , εn ) dont tous les coefficients εk sont égaux à 1 sauf εi = −1. On obtient dans ce cas In − Bi = 2Eii , DP 3 donc les matrices Eii sont dans V (An ) pour 1 ≤ i ≤ n. Finalement V (An ) contient toutes les matrices de la

toute matrice A ∈ Mn (C), χΦ(A) = χAG . ˆ (b) Montrer que, pour tout couple (i, j) d’´ l´ ments de {1, . . . , n}, le polynome caract´ ristique ee e ´ ` de la matrice Ei,j G est egal a (−1)n X n−1 (X − gj,i ). (c) En d´ duire que la matrice G est diagonale et que G2 = In . e 6. On note Ψ l’endomorphisme de Mn (C) d´ fini par e ∀ A ∈ Mn (C), Ψ(A) = Φ(AG). ˆ (a) Montrer que Ψ conserve le polynome caract´ ristique. e (b) En d´ duire qu’il existe une matrice P ∈ GLn (C) telle que e ∀ M ∈ Mn (C), Φ(M ) =

p∈P P désigne l' ensemble des permutations possibles sign(p) = 1 si on peut décomposer p en un nombre pair de transposition (-1 sinon) Quelques matrices particulières Matrices carrées Matrices diagonales Matrices triangulaires (inférieure et supérieure) Matrices par bandes Matrice diagonale (strictement) dominante pour une matrice carrée, ∀i ∈1, n Matrice symétrique j=1, j≠i ∑ aij ≤ (

les zones périphériques intégrées et les périphéries marginalisées 2. Quels sont les divers facteurs qui régissent l'organisation et la dynamique de l'espace français ? Résumé de l'exposé Plusieurs géographes désignent par l’expression « diagonale du vide » l’espace déserté et très peu dynamique de la France. Cette dorsale, qui relie la Champagne-Ardenne au Midi-Pyrénées, en passant par le Limousin et l’Auvergne, met en exergue les dissymétries et les contrastes qui apparaissent dans l’organisation

dans K s’appelle spectre de M dans K et se note SpK (M). n. Dans tout ce paragraphe E est un K espace vectoriel de dimension finie égale à Définition 6 : Un endomorphisme u est dit diagonalisable s’il existe une base β de E telle que at u soit diagonale. Proposition 12 : 3.3 Polynôme caractéristique u est diagonalisable si et seulement si il admet une base de vecteurs propres. Théorème définition 3 : Soit M ∈ n (K), si on pose : χM = det(M − XIn ), alors χM est polynôme de degré n

matrices inversibles. bijective, ce qui permet d'affirmer que ni 5. De l'intérêt du changement de bases Changer de bases est couteux en calculs et pas toujours très efficace. Mais si nous reprenons le dernier exemple, quand on aboutit à une matrice diagonale cela vaut le coup. Les matrices sont souvent associées à des graphes probabilistes. Dans une telle situation, la recherche de l'état du système après répétitions, ou plus encore de l'existence possible d'un état stable est d'une grande pertinence

littoraux Les zones de faible densité recouvrent près de 3/4 du territoire national. Elles sont concentrées entre le bassin du Rhin jusqu'aux montagnes pyrénéennes (diagonale du vide) + les Alpes du Sud + la Corse + la Guyane. Aujourd'hui, on observe un phénomène : l'exode urbain. Les gens commencent à aller vivre sur la diagonale du vide. Les régions rurales ont un solde migratoire positif. 3) Des mouvements migratoires importants On a une concentration de la population dans les agglomérations

disponible et soulevant la question de la délocalisation d'une partie du trafic vers des aéroports régionaux (c'est déjà le cas pour les compagnies low cost). Paris ne s'oppose plus au « désert français » mais la « diagonale continentale » est encore en partie en marge • La « diagonale continentale » française, à l'inverse des régions du Nord, de l'Est, du Sud-Est, de l'Ouest et du Sud-Ouest, reste en partie en marge de l'Europe malgré des efforts de désenclavement. Ce phénomène n'est pas nouveau

   2. Montrer qu’il existe une base B de Rn telle que MatB (f) =     1 ···  1 1   . Exercice 23.26 Soit M =  . 0  .  . . .  . . . 1 0 nique. Montrer qu’il existe une base B  ··· 0 .. . ··· ··· .. . 1 0 . . .      (matrice diagonale).   0  2     , on note f l’endomorphisme associé à M dans la base cano  .. . 1 0  ··· 0 1 de Rn telle que     MatB (f ) =      1 0 .. . ··· 0 1 0 ··· ··· ··· .. . λ 0 0 0 . . .        0  µ  0 . .. . . . . . ···