Bijection réciproque

intermédiaires l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [ 0 ; [pic]] donc ... Comment déterminer le nombre de solution(s) d’une équation du type f(x) = k ? Méthode Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ou théorème de la bijection permet de prouver l’existence d’une solution unique à une équation du type f(x) = k sur un intervalle donné . Pour déterminer le nombre de solution(s) d’une telle équation, on doit appliquer

tout le temps, soit décroissante tout le temps.) sur un intervalle [a , b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique dans l'intervalle [a , b] On dit que f réalise/effectue une bijection (ou encore : est une bijection) de l'intervalle [a , b] sur l'intervalle [f(a) , f(b)] ou [f(b) , f(a)]. Existence d'une solution L'existence d'une solution c dans [a , b] de l'équation f(x) = k est assurée par le théorème des valeurs intermédiaires puisque

OPERATIONS SUR LES FONCTIONS I. Fonction associée u + k Exemples : - Soit u la fonction définie sur  par u(x) = x 2 Alors la fonction, définie sur  , x  x 2 + 5 est la fonction u + 5 . 1 - Soit v la fonction définie sur ⎤0;+∞ ⎡ par v(x) = +x. ⎦ ⎣ x Alors la fonction v − 3 est définie sur ⎤0;+∞ ⎡ par (v − 3)(x) = v(x) − 3 = ⎦ ⎣ 1 x + x−3 Propriété : Soit un réel k et une fonction monotone u définie sur intervalle I. Les fonctions u + k et u ont le même sens de variation sur I. Démonstration

1.2 Bijection Théorème 2 dit de la « bijection » Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b], Alors, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k a une solution unique dans [A, B]. Démonstration Nous allons établir le théorème dans le cas où f est strictement croissante. Le cas où f est décroissante sera facile à en déduire. On sait que f est une fonction continue sur [a, b]. Considérons le réel k compris entre f (a) et f (b). D’après le théorème

Conséquence 1 : Les fonctions polynômes, rationnelles et irrationnelles sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. Théorème 2 , admis : Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. Attention : La réciproque est fausse. Voir exemples avec les fonctions définies par morceaux de l’animation GeoGebra « Chapitre 1 - Notion de continuité ». Exercices à faire : n° 39, 40, 42, 43, 45 page 55, n°46 et 48 page 56 II. Théorème des valeurs intermédiaires

DEVOIR MAISON FONCTIONS DE RÉFÉRENCE Les trois problèmes suivants sont indépendants et obligatoires. Le barème est donné à titre indicatif. 1 Un problème classique [5 points] Soit f la fonction définie sur R par ∀x ∈ R f (x) = 2. Étudier les variations de f sur R. 3. Soit g la fonction définie par ∀x ∈ R (a) Démontrer que ∀x ∈ R −5 . g(x) = √ 2 + 4x + 5 x g(x) = x2 + 4x − f (x). f (x) x2 + 4x + 5. 1. Justifier rapidement que le domaine de définition de f est bien R. (b) En déduire les

Exercice 6 : 1) 2) Les droites (FG) et (CB) sont parallèles. Les droites (FR) et (GR) sont sécantes en R. D’après le théorème de Thalès : 4) Le berger trouvera suffisamment d’eau dans ce puits. Exercice 7 : 1) 2) Donc : D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 3) a) Le triangle ABC étant rectangle en A, le centre du cercle circonscrit se trouve au milieu de l’hypoténuse [BC]. b) Rayon du cercle : 4) ABDC est un rectangle donc ses diagonales

consécutifs de même longueur alors c’est un carré. Donc ABCD est un carré. 6 5 4 1 1² 5² √ 6 3 4 2 3² 2² √ On remarque que AB = BC donc le triangle ABC est isocèle en B. On remarque de plus que AC² = BC² + AB², donc selon la réciproque du théorème de Pythagore, Le triangle ABC est rectangle en B. Finalement, le triangle ABC est rectangle isocèle en B. Exercice 8 : (2,5 points) 1. cf. ci-contre. 2. On sait que S est le centre du parallélogramme ABCD, donc S est le milieu des

des femmes Dans ce livre, les femmes jouent un rôle prépondérant, elles sont omniprésentes tout au long de ce roman et influence les agissements de Julien. Mathilde de la Mole Au premier contact, Julien éprouve une froideur réciproque vis à vis de celle-ci, même s’il est légèrement sensible à sa beauté. Néanmoins, avec le temps, Mathilde se sent attirée par le côté révolutionnaire de Julien. Et Julien est de plus en plus sensible à la beauté de cette dernière. Cette passion va

et (CN) sont sécantes en A, les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Donc, d’après le théorème de Thalès, on a : , c’est-à-dire : . De , on déduit que : AM = Donc : AM = 8 cm De , on déduit que : BC = Donc : BC = 4,5 cm II. Réciproque du théorème de Thalès