Bijection réciproque

L'implication est fausse dans le seul cas suivant : P est vrai et Q est faux Il ne peut y avoir d'implication, puisque l'hypothèse est vérifiée, mais pas la conclusion. -4- La réciproque de l'implication P ⇒ Q est Q ⇒ P. Elle peut être vraie ou fausse, indépendamment de la valeur de vérité de P ⇒ Q. Dans notre exemple, la réciproque est fausse. Toutes les phrases qui suivent sont équivalentes à Q ⇒ P. Elles sont donc fausses, le contre-exemple étant donné par le troisième dessin : Q⇒P non P ⇒ non Q (contraposée)

fonction constante ´egale `a 1. Proposition 4.4. — La fonction ln est une bijection strictement croissante de R∗+ sur R. D´emonstration. — Comme ln (x) = 1/x > 0, la fonction ln est strictement croissante. En particulier ln(2) > ln(1) = 0. Donc quand n tend vers +∞, ln(2n ) = n ln(2) tend vers +∞ et ln(1/2n ) = −n ln(2) tend vers −∞. D’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, on en d´eduit que ln est une bijection strictement croissante de R∗+ sur R. D´ efinition 4.5. — On d´efinit l’application

pour faux. 1- Si pour tout 𝑥 > 0, on a : |𝑓(𝑥)| ≤ 2 𝑥+1 alors lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 0. 2- Si 𝑓 est une fonction continue et monotone sur l’intervalle I alors 𝑓 admet une bijection réciproque noté 𝑓−1 définie sur 𝑓(𝐼). 3- Si pour tout 𝑥 > 0, on a : 1 − 4 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 3 + 1 𝑥 alors lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝑘 avec 𝑘 ∈ [−4; 1]. 4- Si

TD14 : COMPLÉMENTS SUR LA DÉRIVATION :::::::: Objectifs ::: du ::: TD :: : • Justifier la dérivabilité d’une fonction en un point • Calculer la dérivée d’une fo, d’une composée, de la réciproque en cas d’existence • Utiliser les « grands » théorèmes de dérivation (Rolle, AF, IAF, prolongemt dérivée) • Manipuler la fonction arc tangente Exercice no 1 Soit f la fonction définie sur ]− 1; 0[∪]0; 1[ par f(x) = |x| x ln (1− |x|) 1) Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. 2) Prouver que f est

sur ] ] [ pour lesquels ( ) Quel est l’ensemble des . 4. Dresser le tableau de variation de et tracer son graphe. En déduire que est injective. ] sur ([ ]) définie par ̂( ) ( ), pour tout 5. On désigne par ̂ la bijection de [ [ ] et on désigne par ̂ sa bijection réciproque. Justifier l’existence et déterminer ( ̂ ) ( ). Allez à : Correction exercice 17 : Exercice 18 : Soit la fonction définie par : ( ) { Déterminer et dans tels que soit (c’est-à-dire deux fois dérivables

matières Introduction : Mathématiques et informatique 1) Test de niveau 2) Calculs 3) Raisonnement par récurrence 4) Equations, inéquations, systèmes d’équations linéaires 5) Etude de fonctions 6) Intégration 7) Applications et bijections. Bijection réciproque 8) Logarithme et exponentielle 9) Suites numériques 10) Notions de combinatoire 11) Division euclidienne, pgcd et algorithme d’Euclide Mathématiques et informatique La caractéristique de ce cours est de lier l’informatique

1A . On a 1A (x) =  0 Indicatrice d'une partie A d'un ensemble E. Image directe, image réciproque d'applications. si x ∈ A si x ∈ E \ A Notations f(A) et f−1 (B). Composition. Injection, surjection, bijection. Application réciproque d'une bijection. Composées d'injections, de surjections, de bijections. Réciproque de la composée de bijections. L'application réciproque d'une bijection f est notée f−1 . La notation f−1 (B) est cohérente. 2. Calculs algébriques dans R Puissances

Fonction indicatrice d’une partie . . . . . . . . . . 1.4.4 Restriction et prolongement . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Image directe d’une partie par une application . . 1.4.6 Image réciproque d’une partie par une application 1.4.7 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . 1.5.1 Applications injectives . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Applications surjectives . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Applications bijectives . .

par g des droites (AB) et (JH) . Construire alors le point  et l’axe  de g. EXERCICE 2 (5 points ) Soit f la fonction définie sur  1, 0 par : f  x   1  1  x  1  1  x 1/ Montrer que f réalise une bijection de  1, 0 sur  2, 2  2/ Soit g la bijection réciproque de f, monter que pour tout x   2, 2 , g  x    1  x 2  2  4 3/ Soit F une primitive de f sur  1, 0 .Montrer que la fonction H  F  g est une primitive sur de la fonction h : x  x g  x  . 2 

17 3.2.2 Image directe, Image réciproque Soient f : E −→ F une application, A une partie de E et B une partie de F . • L’ensemble de toutes les images des points de A est appelé image directe de A par f , on le note f (A). On a f (A) = {f (a), a ∈ A} Notons que f (A) ⊂ F . L’image directe de l’ensemble de départ E est appelée image de f , on la note Imf . • L’ensemble de tous les points de E dont l’image appartient à B est appelé image réciproque de B par f , on le note f −1 (B). On a