Bissectrice

isom´etries. CQFD. ` Remarque : A partir de maintenant, et en accord avec la terminologie officielle, on parlera de triangles isom´etriques plutˆot que de triangles congruents. Exercice 9 Soit ABC un triangle. Soit P ∈ [BC] tel que (AP ) soit la bissectrice issue de A. Soit H ∈ (AB) tel que (P H) ⊥ (AB) et K ∈ (AC) tel que (P K) ⊥ (AC). 1. Montrer que AP H et AP K sont isom´etriques. AB . AC BP 3. Montrer que le rapport des aires de AP B et AP C est ´egal ` a . (Indication : on pourra CP

| | |IV Bissectrices |[pic] | |Définitions : La bissectrice d’un angle est la droite qui coupe cet angle en deux angles égaux. | | |Propriétés : La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie des deux côtés. |

angles alternes internes définis par deux droites parallèles sont égaux..." 5.10 "puisque deux angles correspondants définis par deux droites parallèles sont égaux..." 5.11 "puisque deux angles opposés par le sommet sont égaux..." 4.1 "puisque la bissectrice d'un angle coupe cet angle en deux parties égales..." 3.1 "puisque deux angles inscrits dans un cercle qui interceptent le même arc sont égaux..." Un point est le milieu d'un segment : 6.1 "puisque si un point d'un segment est équidistant des

Sur le cercle (C), place un point A et reporte 6 fois la longueur du rayon (8 cm). On obtient les points A, B, C, D, E, F. Trace les cordes [BC], [DE] et [FA]. Il faudra refaire 3 fois chacune des constructions expliquées ci-dessous : Trace la bissectrice de l'angle AOB, elle coupe le cercle (C') en G. Trace un triangle isocèle OAH de base [OA] et dont l'un des côtés est porté par [OG]. Pour cela, trace la médiatrice de [OA] qui coupe [OG] en H. Fais la même construction à partir de [OF]. Trace le

Mediatrice Bissectrice Une bissectrice est une demi-droite qui coupe un angle en deux parties égales Hauteur : Une hauteur d'un triangle est la droite (ou segment) perpendiculaire à un côté qui passe par un sommet. Médiane : Dans un triangle la médiane est le segment joignant un sommet au milieu du côté opposé. Dans un triangle, les médianes sont concourantes en un point nommé le centre de gravité du triangle. Triangle Isocèle Un triangle isocèle est un triangle qui

point A pris hors d'une droite (D) le point H de (D) le plus proche de A est le pied de la perpendiculaire à (D) passant par A. 5) Propriétés de la bissectrice d'un angle: a) - Si un point est sur la bissectrice d'un angle alors il est équidistant des côtés de cet angle. b) - Si un point est équidistant des côtés d'un angle alors il est sur la bissectrice de cet angle. 6) Positions relatives d'une • On comparera le rayon du droite et d'un cercle cercle et la distance de son centre à la droite. •

circonscrit. Ce point peut être à l’intérieur ou à l’extérieur du triangle. Cas particulier : Si le triangle est rectangle le centre du cercle est le milieu de l’hypoténuse. 4) Les bissectrices Définition : Les bissectrices sont les droites qui coupent les angles en 2 angles de même mesure. Propriété : Les bissectrices sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit. Ce point est toujours à l’intérieur du triangle.

OB ou OC): . ce cercle, passant par les trois sommets du triangle ABC, est circonscrit à ce triangle.     Les bissectrices : (d) est la bissectrice de l'angle de sommet A ; (d) partage l'angle BâC en deux angles égaux et adjacents. BâO = OâC   Une bissectrice passe par un sommet du triangle et partage l'angle en deux angles de même mesure .   Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes: leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.    Remarques :

droite (bissectrice) et la courbe est grand, plus l’inégalité est forte. Le coefficient de Gini mesure la surface entre la courbe et la bissectrice. Si la répartition des revenus (ou du patrimoine) était parfaitement égalitaire, la Courbe de Lorentz se confondrait avec la bissectrice. La répartition des revenus est alors parfaitement égalitaire (50 % des ménages reçoivent 50 % des revenus ou bien 30 % des ménages reçoivent 30 % des revenus, il suffit de se déplacer sur la bissectrice) On calcule

G B Remarque Les médiatrices d’un triangle équilatéral sont ses axes de symétrie. O C B A Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point que l’on appelle orthocentre du triangle (H ci-contre). C H B A I Les bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point que l’on appelle centre du cercle inscrit au triangle (I cicontre). B A 324 Séquence 7 – MA20 © Cned – Académie en ligne Exemples utiles à retenir Exemple A C a 2 Si ABC est un