Borne milliaire

´ ´ EQUATIONS DIFFERENTIELLES OLIVIER DEBARRE ` Table des matieres 1. Le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e 2. D´montrer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e e 3. Appliquer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e ´ 4. Equations diff´rentielles autonomes e 5. Stabilit´ des solutions e R´f´rences ee 1 3 8 11 14 17 ´ ` 1. Le theoreme de Cauchy–Lipschitz Une ´quation diff´rentielle (du premier ordre) s’´crit e e e (1) o` u f : I × Ω → Rn est une fonction continue, avec Ω ouvert (non vide) de Rn et I intervalle

algorithme pour des raisons d’ordre historique. Il permet l’obtention de chemins de longueur minimale ou maximale, quels que soient les signes des longueurs lij . Son principe : On marque tout sommet x j d’une marque  j qui correspond à une borne supérieure (inférieure) pour la distance minimale (maximale) de x1 à x j . On diminue (augmente) progressivement ces marques, à raison d’une par étape, et en suivant la procédure décrite dans l’organigramme ci-dessous. Lorsqu’une telle diminution

minorant, de majorant, de borne inférieure et de borne supérieure. On note Q+ [resp. Q+,∗ ] le sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls [resp. strictement positif]. Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit des majorants de X, ce qui se traduit par : ∀x ∈ X, x ≤ M, ∀a ∈ Q tel que a < M, ∃x ∈ X | a < x ≤ M et on note M = sup (X) . Il n’est pas difficile de montrer l’unicité d’une telle borne supérieure quand elle existe

élément. 3.2 Borne supérieure, inférieure • Définitions La borne supérieure de A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des majorants de A. La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants de A. • Caractérisation M est la borne supérieure de A si, et seulement si, on a, à la fois : ∀x ∈ A x M , c'est-à-dire que M est un majorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A M − ε < x, c'est-à-dire que M − ε n'est pas un majorant. m est la borne inférieure de A

convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn )n soit bornée. Alors : 0 1. La série 2. La série |x0 |. an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. an xn est normalement convergente pour |x| < r pour tout 0 < r < Preuve. La suite (an xn )n est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn | ≤ M . 0 0 1.) Pour |x| < |x0 | : ∞ n an xn xn x n x n 0 n x n |an x | = = |an x0 | ≤M · La série est une série

c Christophe Caignaert – Lycée Colbert – 59200 Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr 9-2 Séries entières Démonstration : I = r, r ∈ R+ , |an | rn converge est un intervalle de R+ contenant 0, soit il est borné et admet alors une borne supérieure, soit il n’est pas borné et R = +∞. +∞ Exemple : Cherchons le rayon de convergence de n=0 zn Soit r 0, on sait que r ne converge que si r < 1 et sup [0, 1[ = 1. On a donc R = 1. n On reviendra rapidement sur les moyens de

l’espace normé P . On se propose de démontrer l’assertion suivante : pour tout r > 0 il existe ε1 , l’équation différentielle (E4) admette une unique solution x ε1 > 0 tel que, pour tout ε appartenant à Br ; on la notera xε . On note αr (resp. βr ) la borne supérieure de l’ensemble des nombres |F (v, s)| (resp. | ∂F (v, s)|) ∂v où v ∈ [−r, r] et s ∈ [0, T ]. 6.a) Déterminer un réel ε0 > 0 tel que, pour tout ε 6.b) Déterminer un réel ε1 contraction de Br . 6.c) Conclure. 2 ε0 tel que, pour tout ε ε0 ,

∈ R, ∀x1 ∈ R, ∀y ∈ R et ∀y1 ∈ R, si x ≤ x1 et y ≤ y1 alors x + y ≤ x1 + y1 ii) La relation d’ordre ≤ est compatible avec la multiplication ∗ càd ∀x ∈ R, ∀y ∈ R et ∀z ∈ R+ ( z ≥ 0) alors x ∗ y > 0. 4) Toute partie de R non vide et majorée admet une borne supérieure. La relation d’ordre total permet de définir la fonction valeur absolue dans R. Définition : La valeur absolue dans IR est une application ½ || : IR → IR+ x 7→ |x| ½ x si x ≥ 0 et on a pour tout x ∈ R, |x| = −x si x ≤ 0 Propriétés : 4 1)

HAJJI : elhajji.said@gmail.com Laboratoire Math´ matiques, Informatique et Applications e http://www.fsr.ac.ma/mia/ Outline Contents 1 2 3 Notion de fonction et notations Propri´ t´ s de base ee Majorant, minorant d’une partie de R 3.1 Borne inf´ rieure, borne sup´ rieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1 2 4 4 1 Notion de fonction et notations Introduction D´ finition e ´e ´e Soit E un ensemble, on dit que A est une partie (ou un sous-ensemble) de

d’ axiomes répartis sur quatre groupes : le premier groupes correspond aux axiomes de l’ addition, dans le deuxième - les axiomes de la multiplication, dans le troisième - les axiomes de la relation d’ ordre et dans le quatrième - l’ axiome de la borne supérieure. La relation d’ ordre . La relation d’ ordre est totale dans R ; ce qui signi…e que est est est est ré‡exive : 8x 2 R; x x antisymétrique : 8x 2 R; 8y 2 R, si x y et y x alors x = y transitive : 8x 2 R; 8y 2 R; 8z 2 R; si x y et y z alors