Calligra Suite

Les suites Les valeurs prises par une suite sont appelées termes de la suite. Si on nomme u une suite, alors on note son premier terme, son deuxième terme, son troisième, etc. Il y a deux façons de définir une suite: - On peut donner la formule du terme général en fonction de n (pour la première suite tout en haut, on aurait ). - On peut donner son premier terme et une relation générale qui relie deux termes consécutifs. On dit alors que la suite est définie par récurrence. Pour le deuxième

Int¶egration, Hermann, collection M¶ethodes, 1997. [6] Rudin, W. Real and complex analysis, McGraw-Hill, New-York, 1987. 2 Chapitre 1 Pr¶eliminaires et Rappels Dans tout ce chapitre X d¶esigne un ensemble quelconque. 1.1 La droite achev¶ee R Une suite r¶eelle n'a pas toujours de valeur d'adh¶erence. Ceci est du au fait que R; j:j n'est pas compact. En ajoutant deux ¶el¶ements µa R on peut en faire un espace compact. D¶e¯nition 1.1.1 On appelle droite achev¶ee l'espace topologique not¶e R obtenu

2, où p est un entier (d'après l'hypothèse de récurrence). = 6p Donc 2k+1 est divisible par 3. L'hérédité est vérifiée et pourtant la propriété n'est jamais vraie. Méthode : Mener un raisonnement par récurrence On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par et . Démontrer par récurrence que : . Initialisation : et . La propriété est donc vraie pour n = 0. Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit

n n + 1 n(n + 1) c) Faux : La suite du b) est strictement croissante et ses termes sont tous inférieurs à 1. d) Vrai : pour tout entier naturel n, f(n+1) > f(n).  QCM  QCM 5 7 1. c) u 1 = 3, u 2 = , u 3 = . 2 3 1 1 • u 2 – u 1 = – ≠ u 3 – u 2 = – , donc la suite (u n ) 2 6 n’est pas arithmétique. u2 5 u3 14 • = ≠ = , donc la suite (u n ) n’est pas u1 6 u2 15 géométrique. 5 2. b) Pour tout entier naturel n, u n+1 = u n donc 3 la suite (u n ) est géométrique. 1.

naissance, sans le savoir, à la notion de suite numérique. Vers la fin du XVIIe siècle, des méthodes semblables sont utilisées pour résoudre des équations de façon approchée pour des problèmes de longueurs, d'aires, … Un formalisme plus rigoureux de la notion de suite n'apparaitra qu'au début du XIXe siècle avec le mathématicien français Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) – ci-contre. I. Définition et représentation graphique 1) Définition d'une suite numérique Exemple d'introduction :

Corrigé IE suites Exercice 1 1. (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 =−5 et de raison r =7. 1) * u1 = u0+r =−5+7 =2. * u2 = u1+r =2+7 =9. 2) La suite est arithmétique donc un= u0+nr =−5+n×7 = 7n−5. d'où u40 = 7×40−5 = 280−5 = 275. 2. (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison q = −2. 1) * u1 = qu0 = −2×3 = − 6. * u2 = qu1 = −2×(−6) = 12. 2) La suite est géométrique donc un= u0qn un = (−2)n ×3. d'où, u10 = (−2)10 ×3 =1 024×3 = 3 072. 3)La somme des 10

Exercice (4 points) Étudier la monotonie des suites suivantes (en calculant un+1 – un ou 2 a) un = n − n Exercice un+1 ) avec n > 0. un −7 × 32 n b) un = 18n (2 points) La suite suivante est arithmétique. Calculer la raison, le premier terme u0 puis calculer u30 : u5 = 3 et u15 = – 27 Exercice (3 points) La suite (u n ) n∈IN suivante est géométriques . Calculer la raison , le premier terme u1 et u20 : u10 = 8 et u7 = −1 Exercice (4 points) Calculer les sommes suivantes ( en réfléchissant

Exercice 3 : On considère la suite (un ) définie par : un+1 = −0, 5un + 5 u0 = 50 On considère également la suite (vn ) définie par : vn = un − 10 3 1. Remarquons d’abord que pour tout entier n ∈ N, vn = un − 10 10 ⇐⇒ un = vn + 3 3 Ensuite, soit n ∈ N : vn+1 = un+1 − 10 3 10 3 15 10 10 + − = −0, 5 vn + 3 3 3 1 10 5 = −0, 5vn − × + 2 3 3 5 5 = −0, 5vn − + 3 3 = −0, 5vn = −0, 5un + 5 − (vn ) est donc une suite géométrique de raison q = −0, 5 et de premier terme : v0 = u0 − 150 10 140 10 =

de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. 3. Dans cette question on modifie les règles du jeu de la façon suivante : – Si le joueur réalise les événements R3 ou R2 il ne gagne plus d'argent immédiatement mais est qualifié pour la suite du jeu que l'on appelle "Banco". – Si l'événement E est réalisé le joueur ne gagne rien et n'est pas qualifié pour le "Banco". Le "Banco" consiste à extraire une boule parmi les sept restées dans l'urne ; si celle-ci est verte le joueur empoche les

SUITES NUMÉRIQUES I. Déterminer le terme de rang n d’une suite arithmétique : • Exemple : Calculer le 13e terme d’une suite arithmétique de premier terme u1 = 1,75 et de raison r = 3,5. • Méthode : On utilise la relation un = u1 + ( n − 1) r • Solution : u13 = 1,75 + (13 − 1) × 3,5 u13 = 1,75 + 12 × 3,5 = 1,75 + 42 ⇒ u13 = 43,75 II. Déterminer la raison r d’une suite arithmétique : • Exemple : Calculer la raison r d’une suite arithmétique de premier terme u1 = 3,4 sachant que u16 = 34,9. • Solution