Capacité Linéaire

de l'inverse d'une matrice carrée d'ordre n . . . 2.4.2 Résolution de systèmes linéaires ( Méthode de Cramer ) 3 Espaces Vectoriels 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3 4 4 5 5 7 7 10 10 13 15 15 16 17 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . Famille Génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . Dépendance et Indépendance Linéaires - Bases . Existence de Bases ( en dimension nie ) . . . . Les Théorèmes Fondamentaux

     k=1 x1 a1p    . .  .  =  . .  .    . . .   p   xp anp   ani xi et x1 · · · xn  y1 n  . x k yk .  . = . k=1 yn  k=1 Le premier exemple implique que tout système linéaire peut être écrit matriciellement sous la forme Y = AX où A est la matrice des coefficients du système, X la colonne des inconnues et Y la colonne du second membre. Par exemple :       x a 2 1 −3 y − 3z = a  2x + 0 5 1  y = 

Planche no 1. Algèbre linéaire I * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace

: idoles en marbre blanc. Puis civilisation minoenne (du bronze). 2000-1200 : Minoen vient de Minos (roi de Crête). Crête est aussi l'île de naissance de Zeus, et c'est là qu'il dépose Europe. Pas une civilisation guerrière. 1600 : Apparition du Linéaire A. Vers 1450 : destruction des palais suite à des catastrophes naturelles (tremblements de terre, incendies), puis palais reconstruits, mais affaiblis. Civilisation mycénienne Civilisation grecque continentale dont la cité la plus importante

II. Représentation graphique d'une fonction linéaire Soit f la fonction linéaire définie par : f : x \mapsto ax L'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) est appelé représentation graphique de la fonction linéaire. Dans un repère, cette représentation est la droite passant par : - l'origine du repère. - le point de coordonnées (1 ; a) On dit que cette droite a pour équation : y = ax. "a" est le coefficient directeur de la droite. Il indique " l'inclinaison " de la droite

Sociales. Settat. 2ème année de Sciences Economiques Fiche 2 de T.D de Mathématiques Applications linéaires Module : Méthodes quantitatives III Année universitaire : 2013-2014 Exercice 1 I/ les applications suivantes sont-elles linéaires ? justifier: g : R2R2 , définie par g(x,y) =(2x + y , x -2) h : R2R3 , définie par h(x,y) =(x, |y|, 0) II/  Soit f l’application linéaire de R3 dans R2 définie par : f(x, y, z) = (x – y+ z, x + y - z) 1) Déterminer le noyau de f  (ker f)

Algèbre linéaire Sommes-nous dans la matrice ? Aller voir Matrix. Qu’est ce qu’un problème linéaire ? Demandons en premier lieu qu’est ce qu’un problème ? Soient E et S deux ensembles. L’ensemble E est l’ensemble des entrées ( ou des données) et S l’ensemble des sorties. Un problème P est un élément du sous-ensemble Ensuite, quand ce problème est-il linéaire ? Quand il existe une relation linéaire entre les entrées et le sorties. Illustration : la linéarisation d’un problème

envisagée dans 3 cadres différents : Grandeurs : nombres qui représentent une quantité ou une mesure Numériques : nombres manipulés de façon abstraite (produit en croix, …) ==> collège Graphiques : utilisation de représentation graphique (fonction linéaire) ==> collège Types de problèmes travaillés à l'école primaire : Situations où la proportionnalité intervient par convention sociale : problèmes de la vie courante de nature économique (relation entre quantité et prix) Situations où la proportionnalité

fonctions 1 1 qui est atteint pour x = . 4 2 Page 6 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 4. Fonctions linéaires - Fonctions affines Définition Les fonctions ¦, définies sur , dont l'expression peut se mettre sous la forme : ¦(x) = ax + b où a et b sont deux réels sont appelées fonctions affines. Deux cas particuliers : · lorsque b = 0, la fonction ¦ : x a ax est dite linéaire · lorsque a = 0, la fonction ¦ : x a b est (dite) constante. Exemples : les fonctions ¦ et g définies ci-dessous

CHAPITRE 4 : MATRICES 1. DEFINITION Soit f une application linéaire de Rn dans Rp ; on note (e1, e2, …, en) et (l1, l2, …, lp) les bases respectives de Rn et Rp. La matrice M associée à f relativement aux bases de Rn et Rp est le tableau dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs f(e1), f(e2), …, f(en) dans la base (l1, l2, …, lp) de Rp. 2. NOTATION Apn : est la matrice rectangulaire de p lignes et de n colonnes. aij : est l’élément de la matrice Apn de la ième ligne et de