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Recueil d’annales en Mathématiques Terminale S – Enseignement obligatoire Nombres complexes Frédéric Demoulin1, Olivier Hervé2 Dernière révision : 22 mai 2008 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini3 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr ol.herve (chez) laposte.net 3 gilles.costantini (chez) bacamaths.net 2 Annales Terminale S Nombres complexes Tableau récapitulatif des exercices ⋆ indique que cette notion a été abordée dans l’exercice N° Lieu 1 2 3 4 5 6 7 8

d’inconnue complexe z. 1. Résoudre dans C l’équation Z 2 + 4Z + 16 = 0. Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle. 2. On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est π égal à . 3 Calculer a 2 sous forme algébrique. En déduire les solutions dans C de l’équation z 2 = −2 + 2 i 3. On écrira les solutions sous forme algébrique. 3. Restitution organisée de connaissances On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z = x + i y

Sujet 2 i / 6 2i / 3 On considère, les nombres complexes z A  4e ; z B  4e et , zC  2  2i . Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal. Les parties I , II et III sont indépendantes Partie I : Q. C.M. Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou Dest exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification NOTATION : chaque réponse juste rapporte 0,5 point ; une réponse fausse enlève

les nombres complexes non nuls z et z ′ , arg (z × z ′ ) = arg(z) + arg (z ′ ) à 2π près. z Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls z et z ′ , on a : arg ′ = arg(z) − z arg (z ′ ) à 2π près. Exercice no 9 Restitution organisée de connaissances [Spécialité] (Liban 31 mai 2011) On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct. Prérequis : L’écriture complexe d’une similitude directe est de la forme z ′ = az + b où a et b sont deux nombres complexes tels que

Corrigé séquence 3 Probabilités : généralités p.117 Corrigé séquence 4 La fonction exponentielle p.145 Corrigé séquence 5 La fonction logarithme népérien p.167 Sommaire général – MA02 3 Sommaire Corrigé séquence 6 Ensemble des nombres complexes p.197 Corrigé séquence 7 Intégration p.215 Corrigé séquence 8 Probabilités : lois à densité p.239 Corrigé séquence 9 Lois normales, intervalle de fluctuation, estimations p.253 Corrigé séquence 10 Géométrie dans l’espace 4 Sommaire général

Correction [005753] Exercice 10 **** Pour n entier naturel, on pose un = général un . (−1)n 2n+1 1 . Convergence et somme de la série (numérique) de terme ∑nk=0 4k+1 Correction [005754] Exercice 11 *** Soit A une matrice carrée complexe de format p ∈ N∗ . Rayon de convergence et somme en fonction de χA de n n la série entière ∑+∞ n=0 Tr(A )z . Correction [005755] Exercice 12 *** 2 2 Pour x réel, on pose F(x) = e−x 0x et dt. En développant F en série entière par

BP. 294 - Yaoundé (Rép du Cameroun) Tél. (237) 222.01.34 Fax (237) 222.95.21 e-mail : issea@cenadi.cm Résoudre dans : 1) x + 24 + x + 3 + x + 8 = 0 . 2) x + 24 − x + 3 − x + 8 = 0 . 3) x − 1 ≤ x 3 − 1 . Soit, dans , le polynôme P( x) = 6( x − a)( x − b) + 3a ( x − b) + 2b( x − a) où a et b sont des nombres réels non nuls. 1) Calculer P(0), P(a) et P(b). 2) Déterminer le signe de P(0), P(a) et P(b) dans les cas suivants : α) 0 < a < b β) a < 0 < b 3) En déduire l’existence dans ,

Dfinitions Vecteur dfini par une direction, un sens, et une distance. F B D EMBED Equation.DSMT4 Tous les couples de points (A,B) (C,D)et (E,F) reprsentent le mme vecteur. E A Origine du vecteur EMBED Equation.DSMT4 B extrmit du vecteur EMBED Equation.DSMT4 . A C Rq EMBED Equation.DSMT4 vecteur nul distance AB EMBED Equation.DSMT4 norme du vecteur EMBED Equation.DSMT4 Egalit vectorielle

transformation en w, qui fait correspondre à l’intérieur du cercle unité (le domaine de stabilité des systèmes discrets), le demi-plan complexe gauche (le domaine de stabilité des systèmes continus). La transformation en w est la fonction complexe de la variable complexe z définie par l’expression suivante : Lorsque z parcourt l’intérieur du cercle unité, w parcourt le demi-plan complexe à partie réelle négative, de manière bi-univoque. La fonction réciproque de la transformée en w est définie par : Pour appliquer

marqué. On applique cet anticorps sur la coupe puis on rince pour éliminer l’anticorps qui n’est pas fixé. Pour révéler le complexe antigène-anticorps, on utilise un deuxième anticorps (anticorps secondaire) qui reconnaît le premier anticorps; c’est l’anticorps secondaire qui est marqué. Par exemple, si le premier anticorps a été produit par un lapin, on peut révéler le complexe antigène-anticorps avec un anticorps marqué reconnaissant les immunoglobulines de lapin. On peut donc utiliser un même anticorps