Composition 4am

vectoriel Définition 1.1. On appelle K-espace vectoriel ou espace vectoriel sur K, tout ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni d’une loi de composition interne (appelée addition et notée « + » ) et d’une loi de composition externe (appelée multiplicateur par un scalaire et notée « . ») vérifiant : 1. L’addition est une loi de composition interne sur E : ∀(u, v) ∈ E2 , u + v existe et : u + v ∈ E. 2. L’addition est associative, c’est à dire : ∀(u, v, w) ∈ E3 , (u + v) + w = u + (v + w) =

puisse multiplier chaque vecteur u d’un facteur λ pour obtenir un vecteur λ · u. Voici la définition formelle : Définition 1 Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : – d’une loi de composition interne, c’est-à-dire d’une application de E × E dans E : E×E → (u, v) → E u+v – d’une loi de composition externe, c’est-à-dire d’une application de K × E dans E : K×E → E (λ, u) → λ · u 1 2 qui vérifient les propriétés suivantes : 1. u + v = v + u (pour tous u, v ∈ E) 2. u + (v + w) = (u +

SOUS-GROUPES DE (, +) On note (, +) l'ensemble  des entiers relatifs muni de l'addition usuelle. Cet ensemble ainsi constitué est un groupe car la loi + est : · une loi de composition interne (cela signifie qu'elle s'applique à des éléments de  et a pour résultat un élément de  : "(x, y) Î  ´ , x + y Î ) · associative ("(x, y, z) Î  ´  ´ , (x + y) + z = x + (y + z)) · possède un élément neutre 0 ("x Î , x + 0 = 0 + x = x) · et tout élément admet un symétrique ("x Î , $y Î  tel que x

Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 1 : Espace vectoriel réel CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL I- Loi de composition interne et Loi de composition externe......................................................................2 I-1 Loi de composition interne (L.C.I.).................................................................................................................2 I-1-1 Définition...................................................................

vectoriels On traite dans ce qui suit le cas r´el, le cas complexe se traitant de mani`re e e similaire. 1.1 Espaces vectoriels D´finition 1.1 Un espace vectoriel sur R est un triplet (E, +, .) o` e u – E est un ensemble, – “+” une loi de composition interne : E × E → E telle que (´l´ment neutre) ∃0E ∈ E avec ∀x ∈ E, x + 0E = 0E + x = x ee (oppos´) e ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E avec x + (−x) = (−x) + x = 0E e ∀(x, y, z) ∈ E 3 , x + (y + z) = (x + y) + z (associativit´) (commutativit´) ∀(x, y) ∈ E 2 ,

(λ · y), — pour tous x ∈ E et λ, µ ∈ K : (λ + µ) · x = (λ · x) + (µ · x), — pour tous x ∈ E et λ, µ ∈ K : λ · (µ · x) = (λµ) · x. Les éléments d’un espace vectoriel E sont appelés des vecteurs. La loi ·, qui n’est pas une loi de composition interne sur E puisqu’à travers elle des éléments de K agissent sur des vecteurs, est qualifiée de loi externe. En tant qu’ils agissent via · sur les vecteurs de E, les éléments de K sont appelés des scalaires. La loi + est appelée addition et la

On peut multiplier les vecteurs de Rn par des ´l´ments du corps des r´els. ee e (R[X], +, ·) l’ensemble des polynˆmes sur R o Institut SupBiotech’ de Paris Villejuif, le 1.2.10 2/5 Karim L. Trabelsi (ISBP) Espace vectoriel Loi de composition externe Soient K et E deux ensembles non vides. Une loi externe sur E de domaine d’op´rateur K est une application de K × E dans E. e D´finition - Espace vectoriel e Soit E un ensemble non vide muni d’une loi interne ∗ et d’une loi externe

rationnel, réel ou complexe). Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni de deux lois : • une loi interne « + » : E2 → E, appelée addition ou somme vectorielle, • une loi de composition externe à gauche « • » : K × E → E, appelée multiplication par un scalaire, Telles que les propriétés suivantes soient vérifiées. 1. (E,+) est un groupe abélien, autrement dit : • la loi « + » est commutativeN 1 et associative, • elle admet

r´els e e ee e Corps des nombres r´els e Propri´t´. R est muni de la loi de composition interne   satisfaisant : e e • Associativit´ : dx, y, z, px   y q   z  x   py   z q e • 0 est ´l´ment neutre : dx, x   0  0   x  x ee • Tout r´el a un oppos´ : dx, hy p ¡xq t.q. x   y  y   x  0 e e • Commutativit´ : dx, y, x   y  y   x e On dit que pR,  q est un groupe commutatif. Propri´t´. R est aussi muni de la loi de composition interne ¢ aussi not´e ¤ ou [absence de signe] satisfaisant : e e e • Associativit´

opérations correspondant aux éléments de symétrie d’une molécule constitue un groupe de symétrie, d’ordre g. De manière générale, un groupe est un ensemble dont les éléments satisfont aux axiomes de structure suivants. (i) Il existe une loi de composition interne (ici le produit des opérations) qui associe à deux éléments A et B un troisième élément C = A.B appartenant au groupe. Cette loi est associative : A. B. C = A .(B.C) = (A.B.).C (ii) Il existe un élément neutre E appartenant au groupe tel