Condition initiale

Dans  cet  exercice  on  considère  le  problème  d’advection  monodimensionnel.  Comme  la  variable  x  peut   prendre  toutes  les  valeurs  réelles,  il  n’y  a  pas  de  condition  limite.   ?? ?, ? ??? ?, ? + = 0      ? ≥ 0  , ??ℝ   ?? ?? ?!!! = ?!   Dans  cette  partie  on  suppose  que  la  vitesse  est  positive  (c=1)  et  que  ?! ? = ? ?, 0  est  donnée

Établir l'équation différentielle E = RC condensateur pendant la phase de charge. du C + uC vérifiée par la tension uC aux bornes du dt a.t La solution analytique de cette équation est de la forme : uC = A(1 – e – ), compte tenu de la condition initiale relative à la charge du condensateur. En vérifiant que cette expression est solution de l'équation différentielle, identifier A et a en fonction de E, R, C. À partir graphe n°2, déterminer la valeur E. æ du ö La méthode d'Euler permet de calculer

par exemple de type lipchitzien. Si la condition de stabilité est satisfaite, on dit parfois que le problème est bien posé. III- Travail demandé : III-1) Enoncé du Problème : On a un mur d’épaisseur l qui se trouve initialement à une température uniforme θ0. A l’instant t=0, la température extérieure (en x=0) monte brusquement à θa > θ0, valeur maintenue constante par une source de chaleur. On suppose que la température à x=l est gradée à sa valeur initiale θ0. La propagation de la chaleur dans

strictement positive et x0 ∈ R. a) Soit F la primitive de 1/f s’annulant en x0 . Montrer que F réalise une bijection de R sur un certain intervalle ouvert I. b) Etablir que F −1 est solution sur I de l’équation différentielle x = f (x) vérifiant la condition initiale x(0) = x0 . c) Justifier que cette solution est maximale. y = y(y − 1) Exercice 34 [ 00452 ] [correction] Déterminer les solutions au problème de Cauchy Exercice 28 [ 00448 ] [correction] Résoudre sur tout intervalle y + ey = 0

usuelles Une lecture "réciproque" des formules de dérivation des fonctions usuelles est suffisante pour déterminer une primitive. Rappelons ces formules : ¢ 1 æ 1ö ç ÷ =- 2 è xø x ( x )' = (ln x)' = (Condition : x ¹ 0) 1 (Condition : x > 0) ( e x )' = e x (Condition : x > 0) 2 x 1 x Exemple 2 : Déterminer une primitive F de la fonction ¦ définie, pour x Î ]0 ; +¥[, par : ¦(x) = 3 5 - 2 + 6 ex x x SOLUTION : F(x) = 5 ´ ln x + 3 ´ 1 3 + 6 e x + c =

g(x) x Ce– 2 x + 0,4 cos x + 0,2 sin x . (1 pt) Exercice 3 (3,5 points) Un biologiste observe la croissance d’une population de bactéries en milieu fermé. La population initiale est 100 bactéries. La capacité maximale du milieu est 1000 bactéries. Soit N(t) le nombre de bactéries à l’instant t (exprimé en heures). Les observations faites conduisent à modéliser la situation par l’équation différentielle : N ’(t) = 0

thermique peut encore s’´crire selon dθ + τθ0 = θ0 + Cth . La e e e e dt τ e solution est de la forme θ(t) = A exp − τt0 + θe + Rth φ0 . Cette solution peut encore ´voluer en tenant compte du fait que Rth φ0 = θc − θe . Avec la prise en compte de la condition initiale θ(t = 0) = θe , on arrive a : ` θ(t) = θc + (θe − θc ) exp − τt0 . 1 lorsque exp − τt0 = 20 . Cela conduit ` t = τ0 ln 20 ≃ 3τ0 . On trouve num´riquement τ0 = 7 500 s, ce qui fait 2 e a heures et 5 minutes et par cons´quent 3τ repr´sente

Tp1 Equipe 7376  Equation de transport avec conditions aux limites périodiques Equipe 7376: KHALIL Youness 12 novembre 2012 EDP et diérences nies de l'équation de transport Le présent Tp permet de décrire et étudier plusieurs méthodes numériques de résolution . Cette dernière se présente de la façon suivante : ∂t u + c∂x u = 0 ∀(x, t) ∈ R∗]0, T [ Avec u(x, 0) = u0(x) ∀x ∈ R Remarques générales  Pour chacun des schémas proposés, on essayera de donner

mathématicien suisse Leonhard Euler [1707-1783]) ; mais l’étude de ces méthodes s’est surtout développée à partir des années cinquante avec l’apparition des ordinateurs . Pour calculer une approximation de la solution d’une équation différentielle avec condition initiale sur un intervalle [t0 , t0 + T ], on subdivise cet intervalle en sous-intervalles d’extrémités t0 < t1 < ... < tN = t0 + T et on cherche une valeur approchée de la solution en ces points tn , n = 0...N. On étudiera dans ce chapitre deux types

e–x les solutions générales de (En) sont donc de la forme : xn+1 x → k e–x + e–x où k est une constante (n + 1) ! xn+1 d) Il faut déterminer la constante k telle que la fonction f : x → k e–x + e–x soit la solution vérifiant la (n + 1) ! condition initiale donnée. 0n+1 xn+1 f(0) = 0 ⇔ k e0 + e0 = 0 ⇔ k = 0. la fonction f est donc définie sur IR par : f(x) = e–x (n + 1) ! (n + 1) ! Partie B 1° a) f0(x) = e–x et f1 (x) = x e–x Pour tout réel x , f1'(x) + f1 (x) = e–x – x e–x + e–x = – x e–x = f0