Constante gravitationnelle

vitesse exprimée en mètres par seconde est une fonction dérivable y de la variable réelle positive t vérifiant l’équation différentielle : (E) : y′+2y=50 1. Résoudre sur l’intervalle l’équation différentielle y′+2y=0. 2. Déterminer une fonction constante solution de l’équation (E) sur l’intervalle . 3. En déduire la solution générale de (E) sur l’intervalle . 4. Sachant que la vitesse initiale à l’instant t=0 est nulle, déterminer la vitesse y en fonction de t. Partie B On considère la fonction

primitves de f. Une primitive de f n’est donc pas unique. 2.1.2 Primitives d’une fonction Soit f une fonction continue sur I ⊂ R et F une primitive de f . Alors toutes les primitives de f sont de la forme F (x) + C où C = C(x) est une fonction constante (on note parfois C ∈ R). Démonstration. Montrons d’abord que si F est une primitve ⇒ F + C est une primitve. En effet, (F (x) + C) = F (x) + C = f (x) 0 Montrons maintenant que si G est primitive ⇒ ∃ C ∈ R t.q. G = F + C. (G − F ) (x) = G (x) −

Faire le point Pages 14 et 15 du manuel Les propriétés d’une fonction Faire l’analyse d’une fonction consiste à décrire ses propriétés. Soit la représentation graphique de la fonction f ci-dessous. f(x) 4 Maximum Constante 3 2 Négative 1 6444444444444447444444444444448 – 11 –10 9 – – 8 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1– 1 – 1 Strictement croissante 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14444244443144424443 2 2 – Ordonnée à l’origine ou valeur initiale Strictement décroissante x Négative Positive

x→a f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim h→0 x−a h Remarque 1 f est d´erivable en a de nombre d´eriv´e f 0 (a) si et seulement si f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) + hε (h) avec lim ε (h) = 0 h→0 2 2.1 Fonctions usuelles Fonction constante : f : x 7→ C ∀a ∈ R : f (a + h) = f (a) = C. Donc d’apr`es la remarque ?? : f est d´erivable en a et f 0 (a) = 0 2.2 Fonction identit´ e : f : x 7→ x ∀a ∈ R : f (a + h) = a + h = f (a) + h = f (a) + 1.h + hε (h) avec ε (h) = 0. Donc

et les valeurs des paramètres s'affichent dans « résultats de la modélisation » . - pour faire une double modélisation (d’une courbe en deux parties), il faut utiliser : (« définition des bornes ») Note importante : pour modéliser une fonction constante (absente des modèles prédéfinis), la fonction doit être de la forme y(x)=a. Pour obtenir les coordonnées d'un point En déplaçant le pointeur, à l’aide de la souris, dans la fenêtre « graphe », on lit en bas et à gauche les coordonnées du point

multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme : x \mapsto ax+b où les paramètres a et b ne dépendent pas de x. Lorsque ces paramètres sont des nombres réels, une telle fonction est représentée par une droite, dont a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire. Les fonctions constantes et linéaires sont des exemples

o ( est une constante non nulle. Donner alors lexpression de ( en fonction de R et C. SOLUTION DE LqUAtiON Diffrentielle Une solution de lquation diffrentielle peut scrire uc Ae (t o A et ( sont deux constantes positives non nulles. En utilisant lquation diffrentielle, montrer que ( EMBED Equation.DSMT4 . Dterminer la valeur de A. Indiquer parmi les courbes 1 et 2 donnes ci-aprs, celle qui peut reprsenter uc. Justifier la rponse.  Donner lexpression littrale de la constante de temps (. Montrer

dérivée Dans les pré-requis, on a rappelé une propriété entre le sens de variation d’une fonction affine définie sur » par f ( x ) = ax + b , avec a ≠ 0, et le signe du coefficient a. Or la fonction dérivée de la fonction affine f est la fonction constante qui prend la valeur a. Dans l’activité 1, on a observé, sur les intervalles où la fonction f est monotone, le même lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa fonction dérivée. Séquence 6 – MA12 9 © Cned - Académie

pôle réel Pi une constante de temps définie par : Ti = -1Pi . Le régime transitoire est apériodique et ne présente en conséquence aucune oscillation. Si les deux constantes de temps sont de même ordre de grandeur, la contribution de chacune dans le régime transitoire est pratiquement la même. En revanche, si les deux constantes de temps sont dans un rapport nettement disproportionné, il est possible de négliger la plus petite constante de temps par rapport à la constante de temps dominante

v´erifie f (x) = 1/x pour tout x ∈ R∗+ et f (1) = 0. Remarque 4.2. — L’unicit´e est facile : si g : R∗+ → R est une fonction d´erivable v´erifiant g (x) = 1/x pour tout x ∈ R∗+ , alors la fonction h = g − ln v´erifie h = 0 donc est ´egale `a la constante h(1) = g(1), d’o` u g(x) = g(1) + ln(x) pour tout x ∈ R∗+ (et donc g = ln si g(1) = 0). L’existence demande plus de travail. Apr`es avoir vu les int´egrales dans le cours 1M002, vous verrez que la fonction x dt f :x→ t 1 ∗ u ln(x) = f (x). est d´erivable