Continuité territoriale

Fiche BAC S 03 Term. S Théorème des valeurs Intermédiaires (th.v.i.) Exercice n°1. [RÉSOLU] On considère la fonction définie par : f (x)= x 3+ x 2 −5 x+4 1°) Calculer la dérivée de f ainsi que les limites aux bornes de Df. En déduire le le tableau de variation de f sur ℝ . 2°) Montrer que l'équation f (x) = 0 admet une unique solution α∈ℝ . 3°) Donner un encadrement puis une valeur approchée, arrondie à 10–2 près, de α . 4°) Déduire des résultats précédents le signe de f (x) sur ℝ ------------

Chapitre 5 Chapitre 5. Fonctions exponentielles et puissances Activités et applications 2. Relation fonctionnelle et conséquences 1. Fonction exponentielle Activité. À la découverte de quelques propriétés 1. En utilisant cette fenêtre, Activité. Des équations à la fonction 1. a) L’équation ln(x) = 1 a une solution unique : le nombre e. b) ln(e2) = 2 ; e2 est solution de l’équation ln(x) = 2. ln(e–3) = – 3 ; e–3 est solution de l’équation ln(x) = – 3. c) On trace la courbe d’équation y = ln(x)

  Correction  sujet  BTS      Partie  A  :    L’ensemble de solutions de l’inéquation /(x) ≤ 3,5 est 5,3  ;10 .  Partie  B  :    1. a. g est de la forme 5 − e donc sa dérivée est –u′e .  u = −0,2x + 1   donc u = −0,2 donc g x = − −0,2 e 0,2 = 0,2e 0,2  b. La fonction exponentielle est positive sur R et 0,2 est positif donc g′ est positive sur R donc  sur 1  ;10 .  2. Tableau de variations de g  :  x 1 10 g′(x) +  g  4,63  2,77  3. a. Tableau de valeurs de g  :  x 1 2 3 4 5 6 8 10 g(x) 2,77 3

Déterminer f (x2 + y 2 ) − f (0) . x2 + y 2 (x,y)→(0,0) lim F (x, y). Soit A une partie non vide de R2 et x un point de R2 . On note d(x, A) = inf x − a . Montrer que d : R2 → R est lipschitzienne. a∈A Exercice 2 [ 01734 ] Continuité   1 x2 + y 2 − 1 si x2 + y 2 > 1  . Soit f : R2 → R dénie par f (x, y) = 2  1 2  − x sinon 2 Montrer que f est continue. Exercice 7 [ 01738 ] Limite Exercice 3 Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : a) f (x, y)

SESSION 2004 EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. A propos

Terminale S juin 2010 Liban 1. Exercice 1 (5 points) Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants : * e0 = 1 . 1. Démontrer que pour tout réel x, e− x = * Pour tous réels x et y, ex × ey = ex + y . 1 ex . 2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, ex Partie B ( ) n = enx . e− nx 1 + e− x On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = 1. a. Montrer que u0 + u1 = 1. b. Calculer

Inégalités : petit recueil Thibaut Allemand 6 mars 2007 L'analyse, ce n'est que des inégalités... Table des matières 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Inégalités pour les enfants Inégalité de Young . . . . . . . . . Quelques inégalités logarithmiques Théorème des accroissements nis Inégalité de Taylor-Lagrange . . . Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( n) n +1  → u =f u Graphiquement, on comprend ce comportement, mais il faut être vigilant : ce n’est pas parce que la fonction f aura des points fixes que ( un ) convergera forcément… Indication pour démontrer le théorème. Utiliser la continuité de f Exercice II-2. 1  u = u + 1 Reprenons la suite de l’activité d’introduction  n +1 2 n . u0 = −1  Nous avons prouvé que cette suite était croissante, majorée par 2. Prouver qu’elle est convergente et déterminer sa limite. Remarque

n (f g)(n+1) = f (n+1) g (0) + k=1 n+1 n + 1 (k) (n−k+1) f g + f (0) g (n+1) k (f g)(n+1) = k=0 n + 1 (k) (n−k+1) f g . k On en d´duit que Hn+1 est vraie. e Conclusion. Pour tout n ∈ Pour C n (I, ), on rajoute la propri´t´ de continuit´ de (f g)(n+1) et pour C∞(I, ), on applique ee e ces r´sultats ` tous les rangs n ∈ . e a R N∗, Hn est vraie. N R R R R R Th´or`me 7. Soient f ∈ Dn (I, ) (resp. C n (I, ) ou C ∞ (I, )) et g ∈ Dn (J, ) (resp. C n (J, ) e e ou C ∞ (J, ))

Kit de survie - Bac ES 1 1-1 Signe de ax + b (a = 0) Etude du signe d’une expression On détermine la valeur de x qui annule ax + b, puis on applique la règle : "signe de a après le 0". x ax+b −∝ −b/a +∝ signe de a signe de (−a) 1-2 Signe de ax2 + bx + c (a = 0) On calcule la discriminant ∆ = b2 − 4ac (sauf cas évidents) • Si ∆ < 0, on applique la règle : "toujours du signe de a". x ax²+bx+c −∝ Signe de a +∝ b • Si ∆ = 0, on calcule la racine double :