Continuité territoriale

comprendre est l’algorithme de di- chotomie. exercice : déterminez (en fonction de a, b et n) le nombre d’étapes nécéssaires pour obtenir un encadrement de x de largeur 10−p. Il est simple à mettre en oeuvre et présente l’avantage de n’exiger que la continuité (et pas la dérivabilité) de la fonction étudiée. Mais il a l’inconvénient de n’être utilisable que pour des solutions d’équations réelles. corrigé succint : La largeur de l’intervalle au bout de l’itération n est (b − a)/2n , et on veut donc (b−a)/2n

EXERCICE 3 (4 points ) (Commun à tous les candidats) On donne la représentation graphique d’une fonction f définie et continue sur l’intervalle I = [−3 ; 8]. 4 y 3 2 1 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x 8 −1 −2 x On définit la fonction F sur I par F (x) = f (t) dt. 0 1. a) Que vaut F (0) ? b) Donner le signe de F (x) : - pour x ∈ [0 ; 4] ; - pour x ∈ [−3 ; 0]. Justifier les réponses. c) Faire figurer sur le graphique donné en ANNEXE les éléments

Charg´e de cours Table des mati` eres Objectifs du cours d’Analyse 4 1 Fonction d’une variable r´ eelle 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Continuit´e en un point xo . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Continuit´e `a droite, `a gauche de xo . . . . . . . 1.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Limite `a droite, `a gauche de xo . . . . . . . . . 1.3.2 Op´erations

Démonstration de la dérivabilité de ln x Cette démonstration a deux variantes assez éloignées l’une de l’autre et assez techniques l’une et l’autre ! Propriété La fonction ln x est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x )' = 1 x Démonstration 1 Le principe On travaille en deux temps : dérivable en 1 puis dérivable pour tout réel strictement positif Pour retenir cette démonstration Elle est assez difficile donc pas de découragement surtout ! On peut s’aider d’un schéma pour visualiser car on

vrai pour n = 0 et supposant acquis le résultat au rang n ≥ 0, on a : 0 < un+1 = sin (un ) < 1. Tenant compte de l’inégalité sin (x) < x pour x ∈ ]0, 1] , on déduit que décroissante et comme elle est minorée par 0, elle converge vers un réel la continuité de la fonction sin, on déduit que sin ( ) = avec ∈ [0, 1] et un+1 sin (un ) On a donc lim = lim = 1 et le théorème de d’Alembert n→+∞ un n→+∞ un de conclure. 2. Le développement limité de sin en 0 à l’ordre 3 nous donne : 2 2 1

Séquence 6 1ère partie : Dérivation (2) : application aux variations des fonctions e 2 partie : Probabilités (2) : loi de Bernoulli, loi binomiale Séquence 6 – MA12 1 © Cned - Académie en ligne 1ère partie Dérivation (2) : application aux variations des fonctions Sommaire 1. Pré-requis 2. Variations d’une fonction dérivable sur un intervalle 3. Synthèse de la partie 1 de la séquence 4. Exercices d’approfondissement 2 © Cned - Académie en ligne Séquence 6 –

Suites et séries numériques de PCSI I - Généralités sur les suites numériques On appellera suite réelle tout élément de RN . 1) Convergence — Unicité de la limite Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε. Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie. Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞

(x+1)2 D’où on a une unique solutions sur ℝ vérifié les conditions de l’exercice. Exercice 5 : (a) : convergence. la fonction f(t) = t−1 est continue ln(t) sur]0,1[ . 1 pour le point 1 : On a limt→1 f(t) = 1 , Donc elle est prolongeable par continuité au point 1 . D’où ∫1 f(t)dt converge. 2 1 1 1 Pour le point 0 : On a limt→0 √t f(t) = 1,donc f(t) = 0( t) au voisinage de 0 , de plus ∫02 ( t) dt converge d’après Riemann. √ 1 √ Ainsi ∫02 f(t)dt converge. Donc notre intégrale converge. Calcul

M— Michel Fournié O- Intégrales simples 1-Intégrale double 2-Intégrales triples Intégrales doubles et triples - M— Michel Fournié fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 0- Intégrales simples (rappel) M— Michel Fournié O- Intégrales simples Rappels Approximation Définition : Intégrale définie • Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 0 3 2.5 2 1-Intégrale double 2-Intégrales triples 1.5 1 0.5 0 0.5 1 x 1.5 2 2.5 • On peut alors délimiter une surface par : le graphe de f , l’axe

Démonstration (pour le quatrième) : Soit [pic], continue. On suppose que [pic] est définie (c'est-à-dire que f ne s’annule pas). Soit [pic]. Alors [pic]. Comme [pic], on a bien [pic]. Ceci est vrai pour tout [pic], d’où la continuité de [pic] sur D. On fait la même chose pour les autres parties du théorème. 3) Composition Théorème : La composée, quand elle est définie, de deux fonctions continues est une fonction continue