Continuité territoriale

1 LIMITES DE FONCTIONS 1 ) LIMITE en + ∞ et en – ∞ A ) LIMITE INFINIE en + ∞ et en – ∞ Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel . Si « f ( x ) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez grand » , alors on dit que f a pour limite + ∞ en + ∞ . On note : lim f ( x ) = + ∞  → Cf Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande , la courbe Cf finit par se situer au dessus de n’importe quelle droite horizontale .  → x → +∞ j Rem

Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note encore f la fonction x prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction Vidéo [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) = x2 cos , si x = 0

d’intersection de la parabole avec l’axe des x vérifie 1 − x 2 + 3 x − 6 = 0 . Le discriminant de cette 4 équation du second degré est ∆ = 9-6 = 3. Il est positif : l’équation admet deux solutions x = 2(3 ± 3) = 6 ± 2 3 . 3 2) Limites et continuité Définitions : • Une fonction f admet une limite (finie) L en x0, si f(x) , avec x dans Df, se rapproche infiniment près de L lorsque x se rapproche infiniment près de x0. 1 • Si f admet une limite à gauche (quand x tend vers x0 par valeurs inférieures)

LES FONCTIONS USUELLES Chapitre 2 Les fonctions les plus simples sont celles que l’on peut construire à partir de la variable en utilisant des opérations élémentaires (addition, multiplication etc.), notammment les polynômes et fractions rationnelles. En ajoutant des extractions de racines carrées ou autres, et plus généralement des solutions d’équations polynômiales, on obtient des 1 fonctions plus variées, comme par exemple x → √ . Toutes ces fonctions sont dites 1 + x2 algébriques, les manipulations

Comment obtenir la forme canonique On souhaite mettre sous forme canonique l’expression suivante : f(x) = x2-6x-7 | | | x2-6x est le début de l’identité remarquable (x-3)2on a (x-3)2=x2-6x+9 d’où (x-3)2- 9=x2-6x que l’on remplace dans f(x) | f(x) = (x-3)2- 9-7 | | | On continue le calcul en conservant la forme (x-3)2 | f(x) = (x-3)2-16 | | Informations que nous donne cette expression f(x) = (x-3)2-16 pour x=3, on obtient le minimum de la fonction

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim f  x=∞ . ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • x −∞ x −∞ lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) lim f  x=−∞ . Résultats à retenir

M´diane, ´cart moyen minimum. Compl´ments et e e e exercices. e e CHAPITRE 9. Fonctions g´n´ratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D´finitions. Propri´t´s. Sommes de variables al´atoires. Le th´oe ee e e r`me de continuit´. Compl´ments et exercices. e e e 79 99 e CHAPITRE 10. Mesures de Stieltjes-Lebesgue. Int´grale des variables al´atoires r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 e e Mesures. Mesures de Stieltjes-Lebesgue

nécessite une réflexion sur la notion de fonction et de continuité. • Pour quelles fonctions ϕ les expressions an et bn sont-elles calculables ? Question liée au développement de la théorie de l'intégration. • Les séries convergent-elles, et si oui, est-ce vers ϕ ? Ce qui nécessite une théorie de la convergence. • ϕ étant donnée, y a-t-il unicité de la série trigonométrique qui converge vers ϕ (si tant est qu'il en existe une) ? Continuité, intégration, convergence. A l'époque de Fourier, aucune

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe Exercice 1 - Avez-vous compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc 2 I= 1 7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3 Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN On a vu dans le chapitre sur les primitives que toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. La fonction "inverse", définie sur ]0 ; +∞[ par ƒ(x) = 1 , admet donc des primitives. Parmi ces primitives F, x que nous ne sommes pas capables d'expliciter, une seule vérifie la condition F(1) = 0. C'est précisément cette fonction F qui s'appelle logarithme népérien. De cette définition se dégagerons progressivement diverses propriétés qui