Continuité

d´finie sur ]0, π/2] par : fn (x) = sin(2n + 1)x sin x Se prolonge par continuit´ au segment [0, π/2] en posant fn (0) = 2n + 1. e L’int´grale propos´e est donc d´finie : c’est celle d’une fonction continue sur e e e [0, π/2]. On pose : In = D’autre part : sin(2n + 1)x − sin(2n − 1)x = 2 cos(2nx) sin x Donc, pour 0 < x ≤ π/2 et n ≥ 1 : fn (x) − fn−1 (x) = 2 cos(2nx) Relation qui s’´tend au segment [0, π/2] par continuit´ des deux membres. e e On en d´duit, pour n ≥ 1 : e In − In−1 = Donc In = I0

Ghomari F. & Bendi-Ouis A. 10 INTERPRÉTATION DES COURBES La forme de la courbe granulométrique obtenue apporte les renseignements suivants : • Les dimensions d et D du granulat, • La plus ou moins grande proportion d'éléments fins, • La continuité ou la discontinuité de la granularité. Ghomari F. & Bendi-Ouis A. 11 EXEMPLES 1. Sable à majorité de grains fins, 4. gravillon 5/10 à granulométrie continue 2. Sable normal, 5. gravillon 5/25 à granulométrie discontinue

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. Fonctions R → R 19.1. Ensemble de définition . . . . . . . . . 19.2. Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3. Limite et continuité . . . . . . . . . . . 19.4. Continuité sur un intervalle . . . . . . 19.5. Fn en escalier, continue par morceaux 19.6. Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . 19.7. Equivalents . . . . . . . . . . . . . . . 19.8. Négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . .

converge si 3|x| < 1 ⇐⇒ |x| < 3 3 √ √ 3 3 La série est absolument convergente pour tout |x| < et divergente si |x| > . 3 3 2 2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 27 M r A  N -E . 2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 an xn une série entière de rayon de convergence R et soit Soit f :] − R, R[−→ R la fonction définie par f (x) = ∞ an xn , f est alors continue

2, alors (vn ) est minorée par −1. 3. Si (un ) est décroissante, alors (vn ) est croissante. 4. Si (un ) est divergente, alors (vn ) converge vers zéro. Exercice no 58 On considère la fonction f , définie sur [1 ; +∞[ par et . t a. Justifier la continuité de f sur [1 ; +∞[. f (t) = 1. b. Montrer que f est croissante sur [1 ; +∞[. 2. Restitution organisée de connaissances. (Pondichéry 31 mars 2005) On pourra raisonner en s’appuyant sur le graphique fourni. Pour tout réel x0 de [1 ; +∞[, on note

courbe représentative de de variation. sur [−5 /2, 5 /2] et en préciser le tableau On note Φ′ (dérivée généralisée), la fonction égale à la fonction dérivée ′ sur chaque intervalle de la forme ](2 − 1) /2, (2 + 1) /2[ , ∈ Z et prolongée par continuité sur chaque intervalle ](2 − 1) /2, (2 + 1) /2] , ∈ Z. Question 5 Dessiner le graphe de la fonction Φ′ . Soit pose une fonction R −→ R, continue par morceaux et périodique de période 2 ; on 1 2 ( )= ( ) − − d , ∈Z ∈ N∗ et 0( (7)

a : sin x x. (On pourra étudier les variations de la fonction r définie par : r(x) = sin(-x) On admet que pour tout nombre réel positif on a aussi : xx3 sin x x. 01,5pt 0,5pt Etudier la parité de φ et montrer que φ est prolongeable par continuité en 0. c) En déduire que w appartient à Mac2. II - Mac2, UN ENSEMBLE STRUCTURE D’après I, l’ensemble Mac2. est non vide. Soient alors f et g deux éléments de Mac2, et k un nombre réel. b) Soit φ la fonction de IR vers IR définie par : φ 01pt

étant continue sur R. De plus, comme on peut sûr supposer les εk éléments de [0, 1], on a G(a + εk + iy)eixy Kn (y) = |G(a + εk + iy)| Kn (y) ≤ sup |G| Kn (y), F où F est le compact [a, a + 1] × [−2n, 2n] de C, la borne supérieure existant par continuité de G. Comme la fonction dominante est intégrable sur R, le théorème de convergence dominée donne +∞ +∞ G(a + ε + iy)Kn (y)eixy dy → −∞ −∞ g(y)Kn (y)eixy dy quand ε → 0+ . 4. L’échange est justifié par le théorème de Fubini, essentiellement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . .

interdit Barème indicatif : 10 points pour chaque problème Premier problème I. Etude d’une fonction On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : −1 ⎧ 1 ⎪ f ( x ) = 2 e x si x ≠ 0 x ⎨ ⎪f (0) = 0 ⎩ 1. Etudier la continuité à gauche et à droite, la dérivabilité à gauche et à droite de f en 0. 2. Etudier les limites et variations de f (à résumer dans un tableau) ; préciser les branches infinies. CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI,