Continuité

coordonnées : THÉORÈME 7.1  . . −→  x(t) t→t a − → − → − → − → → → → → 0 ı  = a− + b− alors : lim f (t) = ı  Si f (t) = x(t)− + y(t)− et si ⇐⇒ .  y(t) −→ b t→t 0 t→t 0 Par analogie avec les fonctions réelles, on définit les notions de continuité puis de dérivabilité. DÉFINITION 7.3 . − → − → − → Soit f : I → P une fonction vectorielle et t 0 .un élément de I , on dit que f est continue en t 0 − → − → lorsque lim f (t) = f (t 0 ). t→t 0 − → − → → → Remarque : si f (t) = x(t)−

convergence est : R = . 3 √ √ 3 3 3 La série est absolument convergente pour tout |x| < et divergente si |x| > . 3 3 2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 25 M r A  N -E  SÉRIES ENTIÈRES 2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 an xn une série entière de rayon de convergence R et soit Soit f :] − R, R[−→ R la fonction définie par f (x) = ∞ an xn , f est alors

par une formule de la forme : b F (x) = a f (x, t)dt. Si pour tout x ∈ I un intervalle, t → f (x, t) est continue par morceaux sur [a, b] alors F est bien définie sur I on donner deux résultats de régularités sur F . Proposition 5.1 Continuité Soit f une fonction bornée telle que pour tout x ∈ I un intervalle, t → f (x, t) est continue par morceaux sur [a, b]. Si pour tout t ∈ [a, b] fixé x → f (x, t) est continue sur I alors F est continue sur I. Proposition 5.2 Dérivabilité ∂f Si

pourrait employer le n n 1 1 . théorème de la double limite en −1 et cela entraînerait la convergence absurde de la série n n 1 (b) En tant que somme d’une série entière de rayon de convergence 1, S est continue sur ]−1, 1[ . (*) Pour étudier la continuité en 1, on peut se placer sur [0, 1] . ∀ x ∈ [0, 1], la série numérique un (x) satisfait le critère spécial des séries alternées ce qui permet de n 1 majorer son reste. +∞ On a, ∀ x ∈ [0, 1], uk (x) |un+1 (x)| = k=n+1 xn+1 n+1 1 . (majoration

Etudier la courbe paramétrée dénie par F signie tracer dans le plan I 2 l'image de A R par la fonction F c'est à dire l'ensemble des points M (t) = (x(t), y(t)) lorsque t parcourt A. La fonction F sera supposée posséder certaines propriétés comme la continuité et la dérivabilité en tant que fonction à valeurs dans I 2 . Nous devons donc préciser ces notions. R dans A. On dit que F est continue en t0 si F (t) tend vers F (t0 ) lorsque t tend vers t0 . 1 Dénitions Soit t0 ∈ A, on suppose que t0 appartient

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . .

oblique à C f en +∞ , verticale à C f . Etudier « à en +∞ , −∞ ou les deux. Position −∞ ou les deux. Position relative : Etudier le signe de f ( x ) − ( ax + b ) gauche » et « à droite » de a relative: étudier le signe de f ( x ) − l x→a x → ±∞ Continuité et théorème de la valeur intermédiaire Une fonction f est dite continue sur un intervalle I si elle est définie sur cet intervalle et si sa courbe peut se tracer d’un trait continu, « sans lever le crayon ». Autrement dit, pour tout réel a de l’intervalle

n’implique pas la convergence normale de la série entière sur tout son disque de convergence. Exemple 3.1 – La série xn ne converge pas normalement vers sur ] − 1, 1[. n 1 1 sur ] − 1, 1[, car la différence xk − n’est pas bornée 1−x 1−x k=0 3.2 Continuité de la somme Comme une série entière est normalement convergente sur tout disque fermé inclus dans son disque de convergence, sa somme est continue en tout point de ce disque ouvert. 4 4.1 Série entière d’une variable réelle Dérivation

Résolution d'équations II) Résolution d'inéquations III) Résolution de systèmes linéaires PARTIE III ETUDES DE FONCTIONS I) Généralités II) Fonctions usuelles III) Limites de fonctions IV) Comportement asymptotique V) Dérivation VI) Tangente VII) Continuité VIII) Intégration PARTIE IV SUITES NUMERIQUES I) Généralités II) Suites arithmétiques III) Suites géométriques IV) Suites arithmético-géométriques V) Limites PARTIE V PROBABILITES I) Dénombrement II) Calculs de probabilités III) Variables aléatoires

valeur. Exercice On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : 1°) Résoudre dans R, l'équation . En déduire l'ensemble de définition de f. 2°) Montrer  : * Pour  * Pour  * Pour  3°) a) Etudier la continuité de f en 0 et en 3. b) Etudier la dérivabilité de f en 0 et en 3 et donner une interprétation graphique des résultats. 4°) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 5°) a) Calculer sur , la fonction dérivée f ' de la