Continuité

Mathématiques appliquées à l'Économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle I de IR. Si f et g sont continues sur I ( en tout point de I) alors f+g , f.g , lg et sont continues sur I (g(x) 0). Conséquence : Les fonctions constantes, affines, polynômes, rationnelles sont continues sur leur domaine de définition. 2- La dérivation Dérivées

formule de la moyenne e Rappel Si E et F deux espaces vectoriels norm´s, on note L(E, F ) l’espace des e applications lin´aires continues de E dans F . C’est un espace vectoriel norm´ e e pour Φ = supu=0 Φ(u) . u Remarquons que sii dim E < ∞, la continuit´ est automatique. e On ´crira tout simplement L(E) lorsque F = E. On identifie L(R, F ) avec e F par Φ → Φ(1). Lorsque F = F1 × F2 , on identifie L(E, F ) avec L(E, F1 ) ⊕ L(E, F2 ). Lorsque E = Rm et F = Rn , on identifie L(E, F ) avec Mn×m . 1

− x0 Cette limite est appelée ”dérivée de f en x0 ” et notée: f ′ (x0 ) = lim x→x0 f(x) − f (x0 ) x − x0 2.2 Remarque 1 La continuité d’une fonction en un point est une condition nécessaire d’existence pour la dérivabilité de cette fonction en ce point. 2.3 Remarque 2 La dérivabilité d’une fonction en un point entraine obligatoirement la continuité de cette fonction en ce point. 2.4 Exemple Soit la fonction f de R dans R définie par f(x) = x2 − 3x + 1. * Etudions la dérivabilité

y + y = g(x). c) Achever la résolution de cette équation différentielle. Exercice 50 [ 01991 ] [correction] Soient f : R → R de classe C 1 et F : R → R définie par ∀x = 0, F (x) = 1 2x x f (t) dt −x a) Montrer que F peut être prolongée par continuité en 0. On effectue ce prolongement. b) Montrer que F est dérivable sur R et exprimer F (x) à l’aide d’une intégrale c) Montrer que F est dérivable en 0 et observer F (0) = 0. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 18 mars 2011 Exercice 51

Terminale S. Mathématiques. Guide de correction du DS. LIMITES – CONTINUITE - DERIVABILITE (1h) Exercice 1. (4 points) 1X4 Exercice 2. (11 points) Considérons la fonction f définie sur I = [!1;1] par f ( x) = (1 ! x) 1 ! x 2 . 1) Dérivabilité de f sur ]!1;1[ . 0,5 2) Calcul de la dérivée f ' de f sur ]!1;1[ . 1,5 3) a) Dérivabilité de f en 1. f ( x) " f (a) existe et est finie. x"a f est dérivable en a si lim x!a 1/3 2 b) Interprétation graphique. Le nombre dérivé f '(1) , lorsqu’il

d’intégration par parties : 1 1 I1 = 0 f 1 (x) dx = 1 1 0 1 × f 1 (x) dx = [x ln(x + 1)]1 − 0 u u I PP 1 0 x dx x +1 I 1 = ln 2 − dx + 0 0 dx x +1 = =ln |u| ln 2 − 1 + [ln |x + 1|]1 = 2 ln 2 − 1. 0 Par continuité et positivité de la fonction f 1 sur l’intervalle [0; 1], I 1 est géométriquement l’aire délimitée par la courbe représentative de la fonction f 1 , les droites d’équation x = 0, x = 1 et y = 0. 2. a. Le segment d’intégration est [0; 1]. ∀n ∈ N×

n (f g)(n+1) = f (n+1) g (0) + k=1 n+1 n + 1 (k) (n−k+1) f g + f (0) g (n+1) k (f g)(n+1) = k=0 n + 1 (k) (n−k+1) f g . k On en d´duit que Hn+1 est vraie. e Conclusion. Pour tout n ∈ Pour C n (I, ), on rajoute la propri´t´ de continuit´ de (f g)(n+1) et pour C∞(I, ), on applique ee e ces r´sultats ` tous les rangs n ∈ . e a R N∗, Hn est vraie. N R R R R R Th´or`me 7. Soient f ∈ Dn (I, ) (resp. C n (I, ) ou C ∞ (I, )) et g ∈ Dn (J, ) (resp. C n (J, ) e e ou C ∞ (J, ))

Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note encore f la fonction x prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction Vidéo [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) = x2 cos , si x = 0

n’est pas une borne de Ι, alors f '(a) = 0. 2 25/09/2014 Attention! • La condition nécessaire n’est pas suffisante. • La fonction x ⟼ x3 est un contre exemple. • En effet, sa dérivée s’annule en 0 mais elle ne présente pas d’extremum. Notion de continuité sur un intervalle •Soit f une fonction définie sur un intervalle Ι. Dire que f est continue sur Ι signifie que l’on peut tracer sa courbe sur Ι sans lever le crayon. •Propriété : Une fonction dérivable sur un intervalle Ι est continue sur Ι. Attention

Chapitre 1 : Continuité et limites Théorème de la valeur intermédiaire f est continue et strictement (dé)croissante sur [Intervalle]. f(x)=y et f(X)=Y, donc d’après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un nombre unique x1 entre x et Y tel que f(x1) = Nb cherché Limites FI • • • • +∞ + -∞ 0 x +∞ ou -∞ 0/0 +ou-∞/+ou-∞ La limite en + ou -∞ d'une fonction polynôme est celle de son terme de plus haut degré. La limite en + ou -∞ d'une fonction rationnelle (polynôme/polynôme) est celle du