Continuité

+ 1) 9 ∞ t2 0 dt = arctan t +1 ∞ 0 = π . 2 0 6. a) En effectuant un d´veloppement limit´ en 0, on a e e e−t − e−2t = 1 − t − (1 − 2t) + ◦(t) = t + ◦(t) , donc e−t − e−2t =1, t→0 t lim 1 et la fonction se prolonge par continuit´ en 0. Il en r´sulte que l’int´grale e e e converge. D’autre part, si t ≥ 1, on a 0≤ ∞ 0 e−t − e−2t dt t e−t ≤ e−t t ∞ et 0≤ e−2t ≤ e−2t , t ∞ et puisque les int´grales e 1 e −t dt et 1 e −2t ∞ dt convergent

arctan t +1 ∞ 0 = π . 2 6. a) En effectuant un d´veloppement limit´ en 0, on a e e e−t − e−2t = 1 − t − (1 − 2t) + ◦(t) = t + ◦(t) , donc e−t − e−2t =1, t→0 t lim 1 e−t − e−2t dt t et la fonction se prolonge par continuit´ en 0. Il en r´sulte que l’int´grale e e e 0 converge. D’autre part, si t ≥ 1, on a e−t ≤ e−t t 0≤ ∞ 0≤ e−2t ≤ e−2t , t ∞ −t et puisque les int´grales e et e dt et 1 ∞ −2t e dt convergent, les

croissante puisque si x < y , FX (y) = FX (x) + µX (]x, y]) ≥ FX (x). limn→+∞ ] − ∞, −n] = ∩n∈N ] − ∞, −n] = ∅ comme limite d'une suite décroissante d'ensembles et limn→+∞ ] − ∞, n] = ∩n∈N ] − ∞, n] = R comme limite d'une suite croissante d'ensembles Par continuité de l'application probabilité, on a limn→−∞ FX (n) = P(∅) = 0 et limn→∞ FX (n) = P(R) = 1. 2. FX est continue à droite car limn→∞ ] − ∞, x + 1/n] = ∩n∈dN ] − ∞, x + 1/n] =] − ∞, x]. De plus, limn→∞ ] − ∞, x − 1/n] = ∩n∈dN ] − ∞, x − 1/n] =] − ∞,

e e e tel que g([a, b]) ⊂ [a, b]. 3 Universit´ de Nice Sophia-Antipolis e Licence L3 Math´matiques e Ann´e 2008/2009 e Prenons a = 1/10 et b = 1. On a g(1/10) = e−1/10 ≤ 1 et g(1) = e−1 ≥ 1/10. On a bien g([1/10, 1]) ⊂ [1/10, 1] par continuit´ de g sur [1/10, 1]. Comme |g (x)| < 1 sur le ferm´ e e [1/10, 1] de ]0, +∞[, on peut appliquer le th´or`me du point fixe. Il existe l ∈ [1/10, 1] tel e e que l = g(l). Ordre de convergence Comme g (c) = −e−c = 0, la m´thode est convergente ` l’ordre

√ =√ . = = Pour −1 ≤ h ≤ 1 avec h = 0, 2 h h h( 1 − h + 1) 1 − h2 + 1 √ f (h) − f (0) 1 − h2 − 1 = = 0. Or lim 1 − h2 + 1 = 2 donc lim h→0 h→0 h h La fonction f est alors dérivable en 0 et f (0) = 0. 1.3 dérivabilité et continuité Propriété : f est une fonction définie sur un intervalle I, a est un réel de I. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Démonstration : On suppose que f est dérivable en a, c’est à dire, pour h = 0 tel que a + h ∈ I, f (a + h)

on obtient, en prenant le logarithme ln [P(S n = 0)] = 10 10 ln 1 − ln 1 − −10 10 n n × = n ln 1 − . = −10 × 1 −10 n −10 n n 10 ln(1 + h) En posant h = − , on a lim h = 0 et on sait que lim = 1. n→+∞ n h→0 h Donc lim ln [P(S n = 0)] = −10 et par continuité de la fonction exponentielle : lim P(S n = 0) = e−10 . n→+∞ n k+1 n→+∞ b. P(S n = k + 1) = 10 n k+1 1− 10 n n−k−1 = 10 10 k+1 10 n−k−1 n − k n 10 k 10 n−k n! n ×n = 1− 1− = k (k + 1)!(n − k − 1)! n n k +1 n n 1 − 10 × n

dérivable sur un intervalle I contenant un réel a : f ( a + h ) = f ( a ) + hf ′ ( a ) + hϕ ( h ) avec lim ϕ = 0. 0 On appelle différentielle de f en a l’application : h On note dy = f ′ ( a )dx. hf ′ ( a ). 3. Lien entre dérivation et continuité Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un réel a. Si f est dérivable en a, il existe donc un nombre dérivé f ′ ( a ) et une fonction ϕ tels que : f ( a + h ) = f ( a ) + hf ′ ( a ) + hϕ ( h ) avec lim ϕ = 0 donc : 0 h→0 lim

les limites, les ee branches infinies et les fonctions r´ciproques. e Nous vous invitons cependant a revoir soigneusement dans votre cours de Terminale ce qui ` concerne les axes de sym´trie du graphe d’une fonction, le calcul de limites, la continuit´, la e e d´rivabilit´, le calcul de d´riv´es et l’´tude des variations d’une fonction. e e e e e 2.1 2.1.1 Notion d’asymptote D´finitions e Soient I ⊂ R , une fonction f : I → R, et Cf sa courbe repr´sentative dans un rep`re orthogonal

A est convexe. ◦ b) La partie A est-elle convexe ? Exercice 25 [ 01120 ] [correction] Soient A et B deux parties non vides d’un espace vectoriel normé E. ¯ ¯ Etablir d(A, B) = d(A, B) (en notant d(A, B) = inf d(x, y)) x∈A,y∈B Enoncés 3 Continuité et topologie Exercice 30 [ 01123 ] [correction] Justifier que U = (x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < x3 + y 3 est un ouvert de R2 . Exercice 31 [ 01124 ] [correction] Montrer que GLn (R) est une partie ouverte de Mn (R). Exercice 32 [ 01125 ] [correction]

TD « Pièges à éviter » CONTINUITE : -4 -3 -2 -1 y 3 2 1 0 1 2 3 x -1 1) Si une fonction n’est pas définie en a, Alors elle n’est pas continue en a. a) Vrai b) Faux -2 2) La fonction partie entière est discontinue en tout point n∈ . -3 a) Vrai b) Faux -4 3) Le graphe ci-contre est la représentation graphique de la fonction partie entière a) Vrai b) Faux 4) Si une fonction f est décroissante de ]–∞ ; –1] dans [–3 ; 2[ et croissante de [–1 ; +∞[ dans [–3 ; +∞[. Alors l’équation