Continuité

pour tout nombre complexe z tel que |z| < min(R, R ), les trois séries numériques an z n , bn z n et cn z n sont absolument convergentes. De plus : +∞ +∞ +∞ cn z n = ( n=0 n=0 an z n )( n=0 bn z n ) • R ≥ min(R, R ) 4 Continuité sur le disque de convergence Théorème : La série entière an z n est normalement convergente sur tout compact contenu dans son disque ouvert de convergence. Théorème : Soit an z n une série entière de rayon de convergence

récurrence . . . . . . . . 1.4 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . Les fonctions 2.1 Les limites d’une fonction 2.2 Opérations sur les limites 2.3 Propriétés des limites . . . 2.4 Continuité . . . . . . . . . . 2.5 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e−t < 1, on a 1 t3 = t3 e−t = t3 e−t × et − 1 1 − e−t +∞ +∞ e−nt = n=0 n=0 t3 e−(n+1)t . Pour n ∈ N et t ∈]0, +∞[, posons fn (t) = t3 e−(n+1)t . Chaque fonction fn est continue sur ]0, +∞[, intégrable sur ]0, +∞[ 1 car prolongeable par continuité en 0 et négligeable devant 2 en +∞. Les fonctions fn sont toutes positives sur ]0, +∞[ et t t3 qui est continue la série de fonctions de terme général fn converge simplement sur ]0, +∞[ vers la fonction f : t → t e −1 3 t et intégrable sur ]0, +∞[

. . . . . e Le lemme de Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Propri´t´s des fonctions d’une variable r´elle e e e 3.1 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 3.2 Continuit´ en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 3.2.2 Le th´or`me de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e

vrai pour n = 0 et supposant acquis le résultat au rang n ≥ 0, on a : 0 < un+1 = sin (un ) < 1. Tenant compte de l’inégalité sin (x) < x pour x ∈ ]0, 1] , on déduit que décroissante et comme elle est minorée par 0, elle converge vers un réel la continuité de la fonction sin, on déduit que sin ( ) = avec ∈ [0, 1] et un+1 sin (un ) On a donc lim = lim = 1 et le théorème de d’Alembert n→+∞ un n→+∞ un de conclure. 2. Le développement limité de sin en 0 à l’ordre 3 nous donne : 2 2 1

pas en compte dans notre modélisation cette dernière variable année calendaire qui représente l’inflation car nous travaillons sur des triangles déflatés dans le contexte de cette étude. 4 La mise en œuvre d’une modélisation GAM requiert la continuité de ces variables du fait de l’utilisation de fonctions de lissage. Or la variable année de développement est une variable quantitative discrète. Nous la rendons continue en définissant une variable artificielle Y=j qui sera traitée comme une variable

objectifs était de donner un rythme de travail à une classe qui n'en avait plus. Mais ça, faut pas le dire ! Ce DE-1 fut fait sans calculatrice et portait sur tout ce que l'on peut attendre en début d'année de TS : dérivation, limites et asymptotes, continuité. Il eut lieu à la mi-septembre 2005. Il constitua le premier contact des élèves avec les QCM que l'on retrouve régulièrement dans les sujets de bac. Différence avec les miens, ils sont beaucoup moins difficiles. d) Parmi les fonctions suivantes

g, d´finie par h(x) = a e √ 2) D´terminer les deux points stationnaires de f . e 1 + x2 , en a = 0 et ` l’ordre n = 2. a 3) Pr´ciser la nature de ces points stationnaires. e 4) En d´duire la limite de f en 0. e ˜ 5) On note f le prolongement par continuit´ de f en 0. e En reprenant les questions 2) et 3) ` l’ordre n = 3, ´tudier a e ˜ la d´rivabilit´ de f en 0. e e Exo 40. Soit f la fonction num´rique d´finie par : e e 3 f (x) = 3x4 + 4x3 − 2 x2 − 3x + 1. 1) D´terminer Df . e 6 Convexit´

si ut est un isomorphisme faible (c'est-à-dire que ut est une bijection bicontinue pour les topologies faibles- de F sur ut (F )). (Indication : Supposons que u est surjective, ut est continue pour les topologies faibles- d'après 3)ii), pour la continuité de (ut )−1 utiliser la surjectivité de u. Supposons que ut est un isomorphisme faible et soit y ∈ F . Alors y ∈ F est σ(F , F )continu. Montrer que y ◦ (ut )−1 est σ(E , E))-continue sur E . Puis en déduire qu'il existe x ∈ E, y ◦ (ut )−1 = x et

des effectifs répartis entre les classes 25 à 30 et 30 à 35. b- Le polygone des fréquences : Le polygone des fréquences obtenues en joignant par des segments de droites au milieu des bases supérieurs des rectangles permet de rendre compte de la continuité de la variable. En titre d’exemple, on peut prendre la figure précédente : ni Histogramme du courrier de deux mois de l’entreprise X 16 14 12 10 8 6 4 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ‫ا‬ 5 10 12 9 9 6 3 3 © www.e-tahero.net – Z.M.F ‫ا‬ 15