Contrat Aléatoire

marquée i est proportionnelle au nombre i 1 1 1 2. On suppose dans la suite que p2 = ; p4 = et p6 = 6 3 2 On lance deux fois de suite le dé précédent, on note i le résultat du premier lancer et j le résultat du 2ème lancer On définit a variable aléatoire X qui au couple (i ; j) associe le nombre i – j a) Déterminer l’univers image de X. b) Déterminer la loi de probabilité de X. 1. Calculer p2, p4, p6. 1,5 pt ht t 1 pt 1,5 pt Baccalauréat C-E Cameroun _ Session de Juin 2009, Épreuve de

cohérente à une même réponse. Ecart type : est une quantité réel positive éventuellement infinie utilisé dans le domaine des proba poru caractèrisé la répartition d’une variable aléatoire autour de sa moyenne. La variable aléatoire est une fonction définie sur l’enssemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire telle qu’il soit possible de déterminé » la proba pour qu’elle prenne une valeur donnée. Moyenne : la valeur unique qsue devrait avoir tous les individus d’une population pourque

est p = 0, 2. France 3 15 juin 2007 Baccalauréat S 2. Notons G l’événement « l’élève choisi est un garçon »et P l’événement « l’élève choisi a obtenu son permis ». Représentons la situation par un arbre. 1 10 Si X est la variable aléatoire donnant le nombre de produits vendus, X suit la loi binomiale B(5 ; p). 5 Alors p(X = 2) = 2 p 2 (1 − p)3 = 10 × 0, 22 × 0, 83 = 0,204 8. (réponse d)). P G 1 4 9 10 P P = (P ∩ G) ∪ (P ∩ G) (réunion d’événements incompatibles). 3 4 1

Théorème de renouvellement en Chaine de Markov Introduction : Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xn, n ∈ N) qui modélise l’évolution dynamique d’un système aléatoire. La v.a Xn représente l’état du système à l’instant n. La propriété fondamentale des chaînes de Markov, dite propriété de Markov, est que son évolution future ne dépend du passé qu’à travers sa valeur présente. Définitions : Soient (Ω,a,P) un espace de proba et E l’espace des états. 1) Une matrice

réaliser une prévision de la chronique. Connaissant a0 et a1, le processus xtpeut-êtrestationnarisé en retranchant de la valeur dext ent, la valeur estiméea0 et a1 t . Dans ce type de modélisation, l’effet produit par un choc (ou par plusieurs chocs aléatoires) à un instant t est transitoire. Le modèle étant déterministe, la chronique retrouvera son mouvement de long terme qui est ici la droite de tendance. Il est possible de généraliser cet exemple à des fonctions polynomiales de degré quelconque mais

UNIVERSITAIRES: 12 2005 EDITION: 1.01.4043 LS.B.N: 9961-00918.5 Dép&t légal: 3168/2005 TflBLE DES MATIERES CHAPITRE 1 Statistique descriptive.. Exercices... „..„.,. Solutions des exercices CHAPITRE 2. Notions de calcul des probabilités- Variables . aléatoires.. Exercices... ..,., Solutions des exercices CHAPITRE 3. Principles lois de probabilité -Convergences Exercices Solutions des exercices CHAPITRE 4. Echantillonnage - Estimation Exercices Solution des exercices CHAPITRE 5. Tests statistiques Exercices

}n , où on utilise l’information contenue dans Xi pour explii=1 i=1 quer la valeur de Yi . Si on a n observations indépendantes {(Xi , Yi )}n , on considère le i=1 modèle Yi = m(Xi ) + i , i = 1, ..., n où { i }n ∼ (0, σ 2 ), sont des variables aléatoires indépendantes de moyenne 0 et de i=1 variance σ 2 . On veut approximer la fonction m(.). Pour approximer la fonction m(.), on essaye d’estimer la courbe de l’espérance conditionnelle yf (x, y)dy m(x) = E(Y |X = x) = f (x) où f (x, y) est la densité

décision utilisés. I - les différents types de décisions. A -- Classification des décisions selon leur degré de risque. Du point de vue du degré de risque attaché à la prise de décision, on parle de décision « certaines », de décisions « aléatoire », et de décision incertaines. 1-- Les décisions « certaines » : ces décisions se caractérisent par un risque nul dans la mesure où l'on connaît le résultat de la prise de décision dans 99 % des cas. Notons toutefois qu'un risque totalement nul

Quelleestcetteloi ? b) Commentpouvait-onjustifier, sanscalcul, les deux résultats ci-dessus ? 4) Montrer queE(Y) < E(n avecégalitési et seulement n = 2. si 5) Écrire un prograrnme permettantle calcul et I'affichage de la valeur prise par la variable aléatoire Xlors de I'expériencedécritedanscettepartie. 

C'est-à-dire que, si l'on désigne par X(dt) l'événement le prix change pendant l'intervalle de temps (innitésimal) dt , Pr (X(dt)) = δdt On peut interpréter ces changements de prix aléatoires comme résultant d'un signal aléatoire que recevrait l'entreprise, l'incitant à modier ses prix. 1) Montrez que la variable aléatoire représentant le temps d'attente h avant la prochaine modi- cation a pour densité δ exp(−δh). 2) On note xt le (logarithme du) prix xé en t par une entreprise qui a changé son prix