Contrat Aléatoire

PROBABILITES 1. Vocabulaire a) On appelle expérience ou épreuve aléatoire une expérience dont les résultats dépendent du hasard ( ex : on tire une carte au hasard dans un jeu de 32) b) Chaque résultat est une éventualité c) On appelle univers l’ensemble des éventualités ( c’est à dire des résultats possibles ) d’une épreuve aléatoire On le note souvent Ex : = d) Un événement est une partie de l’univers : Ex : E «  obtenir une carte noire » ; F : «  obtenir un

table est mise en vente au tarif normal si elle possède au plus une planche fragile. Elle n'est pas mise en vente, si elle possède strictement plus de 3 planches fragiles. Elle est vendue en promotion dans les autres cas. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de planches fragiles par table. Il est précisé que le nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 12 est égal à 66 et que le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 12 est égal à 220. 1) Donner en la justifiant, la loi de probabilité

baccalauréat, selon deux critères le niveau et la section. | | |Section | | | | | |ES |S |L |Total | | |Niveau |Première |70 |80 |40 |190 | | | |Terminale |80 |90 |40 |210 | | | |Total |150 |170 |80 |400 | |vocabulaire ◊ épreuve / expérience aléatoire le fait de tirer une fiche au hasard. ◊ Le résultat de l'épreuve est l'ensemble des éléments sur cette fiche. ◊ réalisation d'un évènement c’est l’obtention d'une ou plusieurs caractéristiques lors de l'examen des résultats. (ex: T est l’évènment

utile aux étudiants de mathématiques des premières années. Nous avons choisi de garder pour certains concepts le vocabulaire usuel même lorsqu’il n’est pas très bien choisi et représente un héritage malheureux des siècles précédents (la « variable » aléatoire !). En outre la terminologie n’est pas complètement fixée. Nous avons systématiquement indiqué les variantes les plus courantes. En tout état de cause, si l’utilisateur trouve insolite l’utilisation d’un mot dans tel ou tel manuel, il ne doit pas

acceptent de répondre » ; C : « trois personnes ou plus acceptent de répondre ». Calculer les probabilités des événements A, B et C. On arrondira au millième. 2. Soit n un entier supérieur ou égal à 3. Dans cette question on suppose que la variable aléatoire X qui, à tout groupe de n personnes interrogées indépendamment, associe le nombre de personnes ayant accepté de répondre, suit la loi de probabilité définie par : Pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n − 1 , P ( X = k ) = n formules dans lesquelles

cours à usage exclusif des étudiants de l’ENSAI - ne pas diffuser, ne pas citer - 1 1.1 Quelques motivations La sentinelle de la tour carrée Lors d’une ronde, une méthode simple pour “tromper l’ennemi” est d’avancer ou reculer de manière aléatoire, en tirant à pile ou face. Comme précédement, si Xn désigne la position du garde à l’instant n, l’évolution peut se modéliser à l’aide d’une matrice de transition, /N/ /E/ /S/ /O/ 0 1/2 0 1/2 N  1/2 0 1/2 0  P = E   S  0 1/2 0 1/2  1/2 0

vecteur aléatoire – Et donc en ne partant pas des données empiriques comme précédemment • Soit x = [x1, x2,…, xn] le vecteur aléatoire des n variables aléatoires (caractéristiques) mesurées sur les individus • Nous définissons une nouvelle variable y qui est une combinaison linéaire des variables aléatoires xi • Nous supposons que v est normalisé LINF 2275 Stat. explor. multidim. 15 Approche alternative de la PCA • Nous recherchons la projection du vecteur aléatoire x qui maximise

probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif . PARTIE B On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.

d’Economie -3- Professeur HILAL Statistiques II CHAPITRE 1 : AXIOMES DU CALCUL DES PROBABILITÉS IQuelques définitions : 1- Ensemble fondamental : Souvent noté « Ω », c’est l’ensemble des résultats (ou cas) possibles liés à une expérience aléatoire effectuée sur un ensemble E. 2- Événement : C’est toute partie (ou sous ensemble) de Ω. 3- Événement impossible : Noté « Φ », c’est un événement qui ne se réalise jamais, autrement dit ; aucun élément de Ω n’est favorable à sa réalisation. 4- Événement

durée de vie accélérée. On considère un échantillon d'individus dont les caractéristiques observables sont notées X . On cherche à expliquer les disparités d’une variable Y au moyen d’un modèle linéaire : Yi = Xi b + σui où u est une variable aléatoire centrée et réduite de densité f et de fonction de répartition F . L’échantillon est constitué de deux sous-populations, dont l’une est éventuellement vide : Ä Dans un premier sous échantillon E1 , la variable expliquée Yi est observable telle quelle