Cosinus hyperbolique

associe la valeur f ′( x ) de la dérivée de f en x. Cette fonction s'appelle la dérivée de f et se note f ′ . 2°/ Exemples. a) La fonction qui à x associe x est dérivable sauf en 0. b) La fonction sinus est dérivable et sa dérivée est la fonction cosinus. Des formules apprises en terminale permettent de calculer des dérivées de fonctions déduites d'autres fonctions dérivables : (u + v ) ′ = u ′ + v ′, (uv ) ′ = u ′v + uv ′ , ( ku) ′ = ku ′ si k est un nombre réel. ′ ′ u u ′v − v ′u 1 −u′ Lorsque cela

périodique. cos est définie sur R et 2π ￿ périodique. ￿ sin x tan x = cos x Dtan = R \ π + kπ; k ∈ Z 2 1.1. GÉNÉRALITÉS Exemples 1.1.8. Fonctions hyperboliques R → R La fonction sh : est appelée sinus hyperbolique. x −x x ￿→ e −e 2 R → R La fonction ch : est appelée cosinus hyperbolique. x −x x ￿→ e +e 2 R → R La fonction th : est appelée tangente hyperbolique. x ￿→ shx chx On a : ∀x ∈ R, ch2 x − sh2 x = 1. 5 1.1.3 Fonctions périodiques, paires et impaires Définition 1.1.2. Soit f une fonction

Chapitre 7 Chapitre 7. Produit scalaire et nombres complexes Activités et applications z1 1. Produit scalaire et trigonométrie π Activité. La valeur du cosinus de 2 i 1. Les coordonnées des vecteurs EOA et EOB sont respectivement 2. 3. 4. 5. ΂ 122 ; 122 ΃ et ΂ 132 ; 12 ΃. ΂ π2 – x΃ + cos ΂ π2 + x΃ = cos π π π π cos x + sin sin x + cos cos x – sin sin x = 0. 2 2 2 2 –1 π Application 1 Le module est donné par la formule : |z| = 9a2 + b2 = 0(– 2)2 + (2)2 = 18. La mise en facteur du module

43 4.2 Le logarithme naturel r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 Les fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.4 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 Calcul diff´ erentiel 5.1 Diff´erentiation 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 La d´eriv´ee d’une fonction r´eelle

a 3.3.2 Fonctions puissance xα = eα ln x . . . . 3.3.3 Fonctions hyperboliques et circulaires Fonctions circulaires . . . . . . . . . . Etude des fonctions hyperboliques . . Trigonom´trie . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.4 Fonctions circulaires r´ciproques . . . e Fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . Fonction arccos . . . . . . . . . . . . . Fonction arctan . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Fonctions hyperboliques r´ciproques . e Fonction argsh . . . . . . . . . . . . . Fonction

a 3.3.2 Fonctions puissance xα = eα ln x . . . . 3.3.3 Fonctions hyperboliques et circulaires Fonctions circulaires . . . . . . . . . . Etude des fonctions hyperboliques . . Trigonom´trie . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.4 Fonctions circulaires r´ciproques . . . e Fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . Fonction arccos . . . . . . . . . . . . . Fonction arctan . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Fonctions hyperboliques r´ciproques . e Fonction argsh . . . . . . . . . . . . . Fonction

+(. b. Etudier les variations de f. c. Combien l’équation f(x) = 1 a-t-elle de solutions ? Exercice 4 (4.5 points). Montrer que pour tout réel x positif, ex−1 ≥ x. PARTIE DS Exercice 1 (8 points) On considère la fonction tangente hyperbolique, notée th, définie par [pic]. 1. Déterminer le domaine de définition I de th. 2. Montrer que pour tout x de I, on a [pic]. 2. Calculer th(x). Que pouvez-vous en déduire sur la courbe C représentant la fonction th ? 3a. Etudier la parité de

v  sin u sin v  sin u cos v  1 2 1 2 1 2 cos u  v  cos u v cos u  v cos u v sin u  v  sin u v shiz i 4/Faire le lien avec les formules de trigonométrie hyperbolique en utilisant: cos z chiz et sin z  pour tout z de C. S’exercer à réécrire toutes les formules précédentes en trigonométrie hyperbolique avec cette règle. Formulaire Développements Limités en 0 classiques (en 6mn12) en (Faire le lien éventuel avec les DSE). La base de ces développements: le théorème

produit en somme) mais lui-même ne voit pas le lien avec les logarithmes inventé par Napier et c'est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l'explicitera en 1649. La fonction ln s'est d'ailleurs appelée un certain temps fonction logarithme hyperbolique compte tenu de sa découverte comme aire sous l'hyperbole. Le terme de logarithme naturel apparaît pour la première fois dans une note de Nicolaus Mercator en 1668, quand celui-ci met en place sa série de Mercator. Sa série exploitée par Newton

53D – , par exemple une % R S78B -perceptron multi-couches, avec une unité de On considère dans la suite un ( sortie linéaire, unités d’entrée linéaires, unités cachées munies d’une fonction d’activation sigmoïde de type tangente hyperbolique (fonction impaire). R T B SSM 3 Alors un modèle (NAR) est défini précisément par une équation du type p ¢ ' ©e a ( [2] h f h G f 4 T  e e ` c¥U§¥¢ YG$X3"5  ©8£W©VU3¡ bd ' a ` ¤ ( ' % # ¢ ¡    ¢