Cosinus hyperbolique

{xi} sont les variables et les {cj} sont des paramètres. Pour des raisons que nous expliquerons plus loin, les neurones les plus fréquemment utilisés sont ceux pour lesquels la fonction f est une fonction non linéaire (généralement une tangente hyperbolique) d'une combinaison linéaire des entrées : y = tanh ∑c x i=1 n i i . Les {xi} sont les variables (ou entrées) du neurone, les {ci} sont des paramètres ajustables. Un neurone formel ne réalise donc rien d'autre qu'une somme pondérée

sin(Arccos(x)) = (Arccos)'(x) = * Arcsin x [-1,1], cos(Arcsin(x)) = = Arccos(x) + Arcsin(x) (Arcsin)'(x) = * Arctan x 0, Arctan(x) + Arctan() = (signe(x)). cos(Arctan(x)) = sin(Arctan(x)) = (Arctan)'(x) = III. Fonctions hyperboliques * Directes - Généralités ch(x) = sh(x) = th(x) = ch(-x) = ch(x) sh(-x) = -sh(x) ch(x) + sh(x) = ex ch(x) - sh(x) = e-x ch²(x) - sh²(x) = 1 1 - th²(x) = (ch)'(x) = sh(x) (sh)'(x) = ch(x) - Addition ch(A + B) = ch(A).ch(B) + sh(A)

sur le bord. Cette 2 condition, très forte, implique 2 : w1 = w3 = 0 Intéressons nous maintenant à w2 .Les conditions sur les côtés horizontaux de K donnent : ∀x ∈ [0, 1], w2 (x, 0) = w2 (x, 1) = 0 w2 est un produit de fonctions sinusoïdales, hyperboliques ou anes (voir calcul cidessus). La condition précédente implique que w2 est de la forme : w2 (x, y) = sin(kπy)(A cosh( Comme w2 est nulle sur C4 , on a : kπx kπx ) + B sinh( )) n n ∀y ∈ [0, 1], w2 (0, y) = 0 2 Pour s'en convaincre,

I. Définition de la fonction exponentielle Soit (E) l'équation différentielle f'(x) = f(x) avec f(0) = 1. On admet qu'il existe une fonction solution de cette equation. Lemme Si f est une fonction solution de (E), alors pour tout x, f(x) \neq 0. Propriété et définition : Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelé fonction exponentielle et est notée \exp. Démonstration : Soit f une fonction solution de (E) et on pose g(x) = f(x)f(- x) g est défini sur \mathbb{R}

| ------------------------------------------------- Trigonométrie.Fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle.Formules fondamentales.Relation trigonométriques dans un triangle quelconque.Valeurs des sinus, cosinus et tangentes des angles courrants.Formules d'addition.Relations entre les fonctions trigonométriques des angles compris entre 0 et pi/2.Formules de l'angle double et moitiéPuissances des fonctions trigonométriques et linéarisations.Sommes, différences et produits des fonctions

vecteurs et k un nombre réel. • (symétrie). • (linéarité) • (linéarité) • (linéarité) • (identite remarquable) • (identite remarquable) • (identite remarquable) IV. Applications du produit scalaire : 1. produit scalaire et cosinus : Propriété : Soit et non nuls. 2. Théorème d'Al-Kashi : Théorème : Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a. On a : • • • 3. Théorème de la médiane : Théorème : Soient A et B deux points distincts et I le milieu

PUISSANCE D'UN POINT PAR RAPPORT À UN CERCLE UNE PROPRIÉTÉ C est un cercle de rayon R et de centre O. I est un point quelconque du plan. Une droite D passant par I coupe le cercle C en deux points A et B. ® ® Il s'agit de démontrer que le produit scalaire IA . IB est indépendant de la droite D. ® ® 2 2 On considère le point A' de C diamétralement opposé à A. Démontrer que IA . IB = IO – R Cet invariant remarquable est appelé la puissance du point I par rapport au cercle C. APPLICATION D'un point

´ Universite Rennes II L2 MASS — Analyse Feuille de TD 6 Exercice 1 Pour chacune des s´ries enti`res suivantes, d´terminer le rayon de convergence R et e e e le comportement de la s´rie au bord de l’intervalle de convergence, i.e., en x = ±R. e (a) (e) sinh n n n≥0 cosh n x xn n≥2 n ln n (b) (f ) n≥2 (−1)n xn ln n xn n≥1 1+ 1 +···+ 1 2 n (c) (g) (−1)n n n≥1 1×3×5×···×(2n−1) x x2n n≥0 2n (d) (h) xn n≥0 cosh n n! n≥0 x . Exercice 2 1. D´terminer les rayons des s´ries

façon : D’après la figure, le triangle ABC admet un axe de symétrie passant par B donc il est isocèle en B. Pour calculer une valeur approchée de l’angle au sommet, on calcule le produit scalaire [pic]de deux façons : en utilisant le théorème du cosinus : [pic]= [pic]= 13 cos[pic] en utilisant la forme analytique : [pic]= –2[pic]2 + (–3)[pic](–3) = 5. On en déduit que : cos[pic]= [pic]. Donc, avec la calculatrice, on obtient : [pic][pic]67,38°. Ex 72 Le vecteur [pic] de coordonnées ([pic]–

Exercice n°71 page 180 Soit x le nombre de filles et y le nombre de garçons. Au total, il y a 440 élèves donc : 440 = … + … Puis, on compte 20% de filles de plus que les garçons donc : x = … Tu obtiens alors deux équations à deux inconnues : rassemble-les, elles constituent un système que tu dois résoudre (utilise la méthode de ton choix parmi celles décrites dans les pages 172, 173 et 174 de ton manuel). Exercice n°72 page 201 a) Suis bien la démarche de construction donnée. Attention,