Covariance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 10 10 11 11 9 5 Série statistique à deux variables 5.1 5.2 5.3 5.4 Représentation graphique . . . . Covariance . . . . . . . . . . . . Coecient de corrélation linéaire La droite d'ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

βˆ1 = y¯ − βˆ2 x ¯, d’où l’on tire : [βˆ1 ] = [¯ y] − x ¯ [βˆ2 ] = β1 + x ¯β2 − x ¯β2 = β1 . On peut également exprimer variances et covariance de nos estimateurs. Théorème 1.2 (Variances et covariance) Les variances des estimateurs sont : Var(βˆ1 ) = σ 2 x2i = σ2 n (xi − x ¯)2 1 + n x ¯2 (xi − x ¯)2 & Var(βˆ2 ) = σ2 , (xi − x ¯)2 tandis que leur covariance vaut : Cov(βˆ1 , βˆ2 ) = − σ2x ¯ . (xi − x ¯)2 Preuve. On part à nouveau de l’expression de βˆ2 utilisée dans la preuve du non-biais

commutative, and distributive laws −→ transposition: (A + B )′ and (A B )′ Algebraic manipulation II 1.5 sum of values N x n = ι′ x n=1 example: sample average sum of squares x′ x example: sample variance x′ y example: sample covariance 1 ¯ Pι = N ι ι′ −→ Pιx = x ι Mι = I N − Pι −→ Mιx = x − x ι ¯ N n=1 xnyn = N x2 = n=1 n cross product projection matrices Geometry of matrices I 1.6 vector space any set of vector that is closed under addition and scalar multiplication

à une variable Statistiques descriptives à 2 variables Résumé de 2 variables quantitatives Covariance entre deux variables (en notant µX , µY les moyennes respectives de X et Y ) : N 1 cov (X , Y ) = N i =1 ∑ (xi − µX ) (yi − µY ) Corrélation, pour éviter les eets d'échelle on divise par les écart-type : ρ (X , Y ) = cov (X , Y ) σX σY la corrélation est la covariance des variables centrées réduites La corrélation ne permet de mettre en évidence qu'une événtuelle relation

(b1 ) = σ 2 n S  S XX  XX  4. Les axes de l'ellipse ne sont pas parallèles aux axes b0 et b1 . Ceci montre que b0 et b1 sont corrélés négativement : si le terme constant est surévalué, la pente de la droite sera sousévaluée. La formule de la covariance entre b0 et b1 est donnée par: La régression linéaire 28/11/01 - Page 6/11 X S XX 5. Si l'on projette les couples (b0 , b1 ) sur chacun des axes et que l'on effectue un histogramme pour chacun des paramètres, on obtiendra une distribution

.......................................6 2) Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés...............................7 a) Principe..................................................................................................7 b) Covariance.............................................................................................8 c) Droites d'ajustement linéaire...............................................................8 d) Coefficient de corrélation linéaire...............

l'observation porte sur un échantillon, on peut estimer ces paramètres par intervalle de confiance. Traitement bivarié : lorsqu'on s'intéresse à la liaison entre deux variables QT, on peut représenter le nuage des points Mi(xi, yi) et examiner sa forme. La covariance et le coef de corrélation linéaire sont des indicateurs de l'intensité de la liaison linéaire éventuelle de ces deux variables. Traitements multivariés : lorsqu'on s'intéresse à la liaison entre plus de deux ou trois variables QT, on ne peut plus

STO 15 -2 M+ STO M+ etc … Les moyennes arithmétiques : RCL 4 et RCL 7 La variance : Pour (X) : RCL 6 4 x² Pour (Y) : RCL L’écart type : Remarque que : V= ² donc on appuis de plus sur : La covariance : voir le tableau « avec la calculette » Le coefficient de corrélation : . avec la calculatrice après avoir remplie le tableau Fonction Nombre de couples Total des x Total des y La moyenne des x La moyenne des y La variance V(x) La variance

égalité, nous aurions un système de n équations et à n inconnues, donc parfaitement déterminé. Ecriture matricielle des hypothèses H3, H4 et H5 [pic] Sous l’hypothèse d’homoscédasticité et d’absence d’autocorrélation, la matrice de variance Covariance du vecteur des erreurs peut s’écrire : [pic] 3- Propriété des estimateurs : Si les hypothèses initiales sont respectées, cet estimateur des moindres carrés ordinaires possède d’excellentes propriétés: - Il est sans biais ; Le modèle

on peu corriger certaines erreurs avec l’expansion de Cornish Fisher vue pr´c´dement. e e Nous allons vous pr´senter deux m´thodes param´triques de calcul de la VaR : l’approche e e e Variance-Covariance et l’approche RiskMetrics de JPMorgan. 8 Approche Variance-Covariance. L’approche Variance-Covariance repose sur l’hypoth`se e que les rendements du portefeuille et des facteurs de risque suivent des lois Normales et Multinormales, bien que cette hypoth`se soit facilement invalid´e empiriquement