Covariance

matrice de covariance et le vecteur des moyennes permettent donc de caract´riser compl`tement e e la loi d’un vecteur gaussien. En particulier, si un couple (X, Y ) est gaussien, ses composantes sont ind´pendantes si et seulement si la covariance cov(X, Y ) est nulle(c’est-`-dire si sa matrice de covariance e a est diagonale). C’est bien le seul cas que vous rencontrerez o` vous pourrez conclure que deux variables u ´ al´atoires sont ind´pendantes en regardant leur covariance ! Evidemment

nombre d’observations. Pour le cas d’un échantillon comme le notre, où interviennent deux variables dont l’une (investissement) dépendante de l’autre (taux de change), l’utilisation de l’analyse de la covariance sera plus significative. • Covariance : Lorsque les données des deux phénomènes sociaux, physique ou biologiques augmente ou diminue de manière proportionnelle et simultanée en fonctions de facteurs externes identiques, on dit que ces phénomènes

factorielle cherche à réduire un nombre important d'informations (prenant la forme de valeurs sur des variables) à quelques grandes dimensions. Comme dans toute analyse statistique, on tente donc d'expliquer la plus forte proportion de la variance (de la covariance dans le cas de l'analyse factorielle) par un nombre aussi restreint que possible de variables (appelées ici composantes ou facteurs). On utilise le terme de variables latentes pour parler de ces variables qui existent au plan conceptuel seul et

l'inertie du nuage des points définis dans R" : £ (Xij-gj)'. L'inertie In est done égale à la trace de la matrice de variance-covariance des données X définie par : V = (X— —l x) Où I désigne la matrice unite. L'inertie étant invariante par translation, on petit centrer les données par X = , et obtenir une relati simple entre I 'inertie et la matrice de variance-covariance sur les nouvelles donngcs centrées X : In Trace(XTX). Pour des données centrées et réduites Trace(XTX) = n. En considérant

0 ∀ i , t V(µi ) = σµ ∀i V(vit ) = σv ∀ i,t Cov(µi , µj ) = 0 ∀ i = j Cov(vit , vj τ ) = 0 ∀ i = j , t = τ Cov(µi , vjt ) = 0 ∀ i , j , t et E(u i u j ) = 0T ∀ i = j V(u i ) = Σ ∀ i 2 2 Forme de la matrice de variance-covariance de u La matrice de variance-covariance est bloc-diagonale  V (u ) =  . . . . .  . 0T 0T 2 σ 2 + σv  µ  σ2 µ  Σ= . .  .  2 σµ Σ   0T   0T Σ 0T  0T  . . . .  = IN ⊗ Σ .  .  ··· ··· ···  Σ 2 2 σµ + σv 2 σµ 2 σµ .

26%1990-47,37%-33,79%199131,00%29,88%1992132,44%30,35%199332,02%2,94%199425,37%-4,29%1995-28,57%28,86%19960,00%-6,36%199711,67%48,64%199836,19%23,55%1) Estimer la moyenne et l’écart type des rentabilités annuelles de chaque société 2) Estimer la covariance et la corrélation des rentabilités des deux sociétés 3) Estimer la variance d’un portefeuille composé, en parties égales, de ces deux titres. Application 8:Supposons un univers où il y a la possibilité d’investir entre deux actifs : l’or et un portefeuille

variable aléatoire Variance, de la somme du produit d'une constante par une variable et d'une constante Variance, d'une somme de deux variables aléatoires => V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2 COV (XY) Rappelons que la Covariance (XY) = E(XY) - [E(X) * E(Y)] Autrement dit => la covariance est égale à la moyenne des produits moins le produit des moyennes. Analyse du risque d'exploitation 2ème partie 13 Exemple Une entreprise vend deux produits P1 et P2 Information Leurs quantités respectives

DE LA SCIENCE Compre ndre la réalité • Acquérir des connaissanc es Contrôle r la réalité • Appliquer des connaissanc es COMPRENDRE Explorer Identifie Compar nommer r er classer Décrire Reconnaitr Établir des e les relations de éléments covariance Expliquer Découvrir les relations de causalité CONTROLER contrôl er intervenir Modifier les éléments Les visées de la science explication description Les visées de la science classification compréhension APPLICATION Décrire et classer

peut être pensé comme une représentation locale de l'espace-temps autour de l'observateur (représenté par le point p). La carte munie de son système de coordonnées permet de décrire localement l'espace autour du point de la variété. Le principe de covariance de Lorentz local, qui affirme que les lois de la relativité restreinte s'appliquent localement en chaque point de l'espace-temps, fournit une raison supplémentaire pour le choix de la variété pour représenter l'espace-temps : on peut préciser ce

|[pic] | [pic] • Le r ne mesure que la partie linéaire de la liaison entre les variables. • Le r est très sensible aux valeurs extrêmes. Lien entre le r et la covariance On peut montrer que le r est la covariance divisée par le produit des écart-types : [pic] Exercice. Calculer le coefficient de corrélation linéaire.[pic][pic][pic] ----------------------- Mesures d’intervalle $01r~¬²µáâäî ? E n † ” – ö ÷ û LMNZ[\]^ip’“˜ÆùõùñíéÞÚÖÚÖÒÖÚÖÚÖÎÖÎÖÎÖÎÇÀ¼¸®©™®