Covariance

I 7 Dans l’exemple pr´c´dent (section 1.2, cas continu), on a l’ind´pendance. e e e Propri´t´ tr`s importante e e e Si X et Y sont ind´pendantes, alors: E(XY ) = E(X)E(Y ). La r´ciproque n’est pas e e vraie en g´n´ral! e e 1.6 Covariance D´finition e Cov(X, Y ) = E [{X − E(X)} {Y − E(Y )}] . Exercice Montrez que Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) . Propri´t´ importante (cons´quence de l’exercice) e e e Si X et Y sont ind´pendantes, alors Cov(X, Y ) = 0. La r´ciproque n’est

4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. Statistiques exhaustives∗ 83 Propri ́et ́es des statistiques X ̄ et s2 87 Covariance et corr ́elation empiriques 89 Construction d’un ́echantillon pseudo-al ́eatoire par simulation∗ 90 Exercices 93 Chapitre 5. Estimation des param`etres 97 5.1. Mod`ele statistique. Probl`eme d’estimation des param`etres 97 5.2. Comparaison d’estimateurs 100 5.3. M ́ethode des moments 105 5.4. M ́ethode du maximum de vraisemblance 107 5.5. Comportement asymptotique de la fonction de

30,35% 1993 32,02% 2,94% 1994 25,37% -4,29% 1995 -28,57% 28,86% 1996 0,00% -6,36% 1997 11,67% 48,64% 1998 36,19% 23,55% 1) Estimer la moyenne et l’écart type des rentabilités annuelles de chaque société 2) Estimer la covariance et la corrélation des rentabilités des deux sociétés 3) Estimer la variance d’un portefeuille composé, en parties égales, de ces deux titres. Application 8: Supposons un univers où il y a la possibilité d’investir entre deux actifs : l’or et

obtenues en prenant la fonction aléatoire à des instants différents. On appelle fonction de corrélation RX(t1,t2) la fonction définie par RX (t1,t2)= E[X(t1)X *(t2)] # # = x1 x * 2 TX(t1),X(t2)(x1,x2) dx1 dx2 X1 X2 La fonction de covariance GX(t1,t2) correspond à la fonction de corrélation de la fonction aléatoire centrée, soit GX (t1,t2)= E [X(t1) -mX(t1)] [X(t2) -mX (t2)]* =[x1 -mX (t1)] [x2 -mX(t2)]* X1 X2 × TX(t1),X(t2)(x1,x2) dx1 dx2 Dans la mesure du possible

commerciale est représentée par six items seulement. Cette échelle de l’offre commerciale après l’élimination du cinquième item, présente un bon niveau de fiabilité (α de Cronbach = 0,949 est proche de 1) : L’échelle a une bonne cohérence interne. La covariance entre les items est élevée. 2 L’environnement offert par le magasin : Suite à une première ACP, nous avons trouvé l’alpha de Cronbach égal à 0,897 et la communalité des huit items suivants inférieure à 0,5 : la rencontre d’amis, la facilité de

êêL - aHxi - êêLD = 0 i=1 y x ⁄n @Hy - êêL - aHx - êêLD = 0 i=1 i i i=1 i i i i=1 i a = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -x Li2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ n ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx êê y* - êê = aHx - êêL y x (3) (4) 1 On peut noter que : ÅÅÅÅ ⁄n Hxi - êêL Hyi - êêL est la covariance empirique de X et Y , et que : x y i=1 n 1 êêL2 est la variance empirique de X . Par conséquent, l’expression de a peut s’écrire : n ÅÅÅÅ ⁄i=1 Hxi - x n Multipliant (4) par êê et retranchant de (3), il vient : x x y x ⁄n Hx - êêL @Hy - êêL -

inversibilit´ des mod`les ARMA(p,q) . . . e e e 4.5 Exercices : TD 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 TP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 (*) La positivit´ : caract´rization des suites de covariance . . e e 5 La pr´vision lin´aire e e 5.1 La pr´vision des processus ARIMA(p,d,0) . . e 5.2 Pr´vision lin´aire des mod`les ARIMA(p,d,q) e e e 5.3 Exercices : TD 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Contrˆle continu en s´ries temporelles . . . . o

La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non inertiels, est une théorie relativiste de la gravitation, c'est-à-dire qu'elle décrit l'influence sur le mouvement des astres de la présence de matière et, plus généralement d'énergie, en tenant compte des principes de la relativité restreinte. La relativité générale englobe et supplante la théorie de la gravitation universelle d'Isaac Newton qui en représente la limite aux

(k)2 − Ei (k’) I i=1 I I I I ( ) Après développement, les auteurs montrent que l’évolution de l’erreur dépend certes de l’erreur sur le coût des produits due à l’activité k : ( ) ) mais elle dépend aussi de la somme des covariances entre l’erreur sur le coût des produits due à l’activité k et les erreurs sur les coûts des produits dues aux autres activités : 1 ∑ 2Ei (K −1)Ei (k ) − 2Ei (K −1)Ei (k’) I i=1 I ( Une meilleure spécification peut avoir également un

du choix de mod` le afin, e e e e e principalement, d’en introduire les grands principes pour les adapter au cas de la r´ gression logistique largee ment utilis´ e en prospection de donn´ es. Une derni` re section introduit le mod` le d’analyse de covariance e e e e mais de nombreux aspects : colin´ arit´ , points influents, tests, analyse de variance, mod` le multinomial e e e ` ou poissonien (mod` le log-lin´ aire). . . sont n´ glig´ s et a rechercher dans la bibliographie de mˆ me qu’une e e e e e