Covariance

Statistiques Les statistiques à deux variables 1. Nuage de points Le point G est le « point moyen ». Il est le centre de gravité de l’ensemble des points. Il résume l’ensemble des points. La covariance est un nombre qui permet d’avoir une information sur le nuage et sur sa forme. Si la covariance est positive, la forme du nuage s’allongera de l’origine vers l’infini, si elle est négative, le nuage s’allonge du haut de l’axe des ordonnées vers l’axe des abscisses. Ajuster un nuage de points

+ randn(N,M); %ajout du bruit. Or, ici RSB = 0 (puissance du bruit = puissance du signal) X = Ps*X + randn(N,M); %matrice des observations bruitées avec RSB = 10 dB X2 = Ps*X2 + randn(N,M); R = X*X'+ X2*X2'; %Estimation de la matrice de covariance des observations % ' = transposée conjuguée %------------Estimateur formation de voie (méthode 1)----------% Theta = [-90:0.5:90]; for t=1:length(Theta) Thetarad(t) = Theta(t)*pi/180; %Passage de Theta en radian for

Mais on voit que cet estimateur est biaisé, car [pic]. La méthode du MV sous-estime la variance [pic] Cependant, asymptotiquement,[pic] est un estimateur sans biais de [pic]( le biais égale à –K/N tend vers o). [pic]est la matrice de variance covariance estimée de [pic], et les termes diagonaux de cette matrices sont les variances estimées des paramètres ; soit [pic] c) Efficacité de l’estimateur des MCO Théorème de Gauss-Markov [pic] est le meilleur (de variance minimale )estimateurs linéaire

2.6457511.825742 La moyenne a donc été calculée sur chacune des colonnes du data. Frame, le résultat est un vecteur, indexe par le nom des colonnes de df. Si m <- mean(df), on a alors m[1] = m['A'] = 3,5. La fonction var () calcule la matrice de covariance des colonnes de df. Le résultat est une matrice dont on accède aux différents coefficients soit par leur numéro de ligne et de colonne, soit par les index 'A' et 'B'. Pour l'écart-type, on obtient le vecteur correspondant à l'écart-type de chacune

par 4) Utilisation de la méthode de l’interpolation linéaire pour calcul des taux A partir des taux in fine y i et y j de maturités respectives i et j, on peut obtenir dans ce cas le taux interpolé de maturité k avec i< k matrice de covariance et vecteur moyenne du rendement 7) Calcul de la valeur marché du portefeuille 8) Calcul de la var grâce aux formules mathématiques Cas Historique 5) Calcul de la valeur marché du portefeuille 6) Calcul des variations à chaque

période de 62 semaines et un taux sans risque de 3,60%, on a : 5) Nos conclusions par rapport à l’approche moyenne variance restent inchangées car nous retrouvons bien les mêmes résultats. 6) Voici la matrice symétrique des variances / covariances : 7) cf. feuille Excel 8) Notre simulation a permis d’obtenir les combinaisons profils rentabilité / risque suivantes : Quelques portefeuilles se distinguent, en effet on remarque que le portefeuille numéro 3 offre une rentabilité

de à effet. On utilise la connaissance de x pour prédire des valeurs de y ; cela n'implique pas qu'un changement de x cause un changement de y. Le calcul : Le coefficient r de Bravais-Pearson entre deux variables X et Y se calcule à partir de la covariance et des écart-types en appliquant la formule suivante : Avec Lorsque r est calculé sur un échantillon, on est amené à tester sa significativité. Pour un risque d'erreur alpha fixé, le degré de signification varie en fonction du nombre d'individus

e e e marginaux, etc. 2.1.3 Covariance sxy = 1 n n La covariance est d´finie e (xi − x)(yi − y ). ¯ ¯ i=1 Remarque 2.1 – La covariance peut prendre des valeurs positives, n´gatives ou nulles. e – Quand xi = yi , pour tout i = 1, . . . n, la covariance est ´gale ` la variance. e a – La covariance peut ´galement s’´crire e e sxy = 1 n n xi yi − xy . ¯¯ i=1 2.1.4 Corr´lation e sxy . sx sy Le coefficient de corr´lation est la covariance divis´e par les deux ´cart-types marginaux

d’analyse de donn´es — Jean-Marc Lasgouttes — ann´e 2010-2011. e e 13 Variance et ´cart-type e D´finition la variance de x est d´finie par e e s2 = x 1 (xi − x)2 ou s2 = ¯ x n i=1 n n i=1 Mesure de liaison entre deux variables D´finitions la covariance observ´e entre deux variables x et y est e e pi(xi − x)2 ¯ n n sxy = i=1 pi(xi − x)(yi − y ) = ¯ ¯ i=1 pixiyi − xy . ¯¯ L’´cart-type sx est la racine carr´e de la variance. e e Propri´t´s La variance satisfait la formule suivante

dans la workfile sur le vecteur C Remarque : chaque type d’objets – série, équation, matrice, scalaire, ... – est repéré dans la workfile par un symbole différent. Chapitre 3 – Exercice 2 : Matrice des variances/covariances Elle est donnée par : . La matrice des variances–covariances des coefficients permet d’effectuer, par le calcul, le test de la question 3. Ou bien le test peut être effectué directement par : Chapitre 3 – Exercice 3 : Calcul de la statistique de Fisher quand on veut tester