Covariance

3 = 5 2. Comme les deux variables S et U admettent chacune un moment d’ordre deux puisque ce sont des variables finies, la covariance du couple (S, U ) existe avec, par théorème : cov (S, U ) = E (SU ) − E (S) E (U ) où : E (SU ) = = E (S) = E (U ) = 1 × 1 × 0.1 0.1 0.3 0.4 Conclusion : cov (S, U ) = 0.1 − (0.3 × 0.4) = −0.02 Comme la covariance du couple est non nulle : les variables S et U sont dépendantes 3. On demande de calculer la probabilité conditionnelle P[U =1]

dispersion - Analyse de deux variables quantitatives et qualitatives (covariance, ajustement affine par la méthode des moindres carrés) E- Probabilités - Espaces probabilisés (modélisation, probabilité conditionnelle, probabilités composées, formule de Bayes, indépendance) - Variables aléatoires discrètes (définitions, fonctions de répartition, espérance, variance, inégalité de Bienaymé-Tchebytchev) - Lois usuelles - Covariance de deux variables aléatoires Seconde année A- Algèbre linéaire : -

emprunter et prêter au taux sans risque sans limitation. - L’information est accessible sans coût et disponible simultanément pour tous les investisseurs. Ils font donc tous les mêmes prévisions d’espérance de rendement, de variance et de covariance pour tous les actifs. - Les marchés sont parfaits : il n’y a pas de taxes, ni de coûts de transactions. Les actifs sont tous négociés et divisibles à l’infini. La formule est une fonction : - de la mesure du risque systématique

variance (dispersion) restent constantes dans le temps, et les covariances entre des composantes de dates différentes Processus stochastiques 7 ne dépendent que de l’écart de temps qui les sépare. Un cas particulier de processus stochastique stationnaire est le processus « bruit blanc » (traduction littérale de « white noise ») : l’espérance est nulle en toute période, la variance est constante dans le temps et les covariances entre composantes de dates différentes sont toujours nulles. Les

consiste à vérifier le modèle dans sa globalité. Il existe trois mesures possibles pour quantifier l’intensité de la relation entre X et Y: – Le coefficient de détermination de Y en fonction de X – Le coefficient de corrélation entre X et Y – La covariance entre X et Y Le coefficient de détermination théorique de Y en fonction de X, noté ρ2 mesure la proportion de la variance de Y qui est expliquée qui est expliquée par la variable X au niveau de toute la population. A noter que 0≤ ρ2 ≤1. En pratique

régression a et b ou a’ et b’. On a trois étapes, qui sont les suivantes :  Etape 1 : Calcul des sommes :  xi ;  yi ;  xi2 ;  yi2 ;  xi yi i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n n  Etape 2 : Calcul des moyennes, variances et covariance.  Etape 3 : Calcul des coefficients de régression a et b, et éventuellement a’ et b’. III. La corrélation Le calcul de la valeur des coefficients de la régression ne donne aucune indication précise sur la qualité de l’ajustement effectué. Ainsi

par : βMCO = (X ′ X )−1 (X ′ Y ) = WY , avec W = (X ′ X )−1 X (19) • βMCO est un estimateur lin´aire (βMCO = WY ) e • βMCO est un estimateur sans biais et efficace E (βMCO ) = β, il a aussi la variance minimale. • Matrice de variance-covariance de βMCO = σ2 (X ′ X )−1 , o` σ2 est la variance u ε ε du terme d’erreurs estim´e par σ2 = e ε (Mohamed AMARA, ISG Sousse-Paris 1 Sorbonne) ′ εε n−k−1 Master-finance 16 / 38 Plan du cours Introduction Chap 1 Chap

Rentabilité hors inflation : 1+Rentabilité apparente1+taux d'inflation-1 Population entière : VRa=[i=1nxi²*p(xi)]-[i=1nxi*pi]² σRa= Ra Echantillon : VRa=[1ni=1nxi²*p(xi)]-[1ni=1nxi*pi]²*nn-1 σRa= Ra de l'échantillon ou σRa= Ra*nn-1 Covariance : Covxy=1ni=1nxipi-xy Coefficient de corrélation de 2 titres : ρ=Cov (xy)σx * σ(y) Calcul du β sans changement de variable : β= Cov (RmRx)V(Ra) Formule du MEDAF : RXt=RFt+βx[ERmt-RFt] Rentabilité d’un portefeuille composé de 2 titres :

qui existent entre ak 1 et ak 2 sont : (V 11 )-1 V12 ak 2= R²( Zk 1, Zk 2) ak 1 (V 22 )-1 V21 ak 1 = R²( Zk 1, Zk 2) ak 2 * Dans le cas où les deux variables sont quantitatives, Vij est la matrices des covariances entre les variables du tableau i et celles du tableau j. * Dans le cas où les deux variables sont qualitatives, Vij est la matrice des fréquences relatives des variables du tableau i et celles du tableau j. Les proximités entre les individus

N sur lequel on fait les hypothèses de base. Formuler matriciellement ces hypothèses de base. a ˆ a ˆ On note β = et β = ˆ . b b ˆ Montrer matriciellement que β est un estimateur sans biais de β. ˆ Calculer matriciellement la matrice de variance-covariance de β. 15. On considère le modèle yn = a+bxn +εn , n = 1, . . . , N sur lequel on fait les hypothèses de base, et on suppose en outre que ce modèle est gaussien : indiquer quelle est l’hypothèse qui est faite dans ce cadre. a ˆ a ˆ On note β = et