Covariance

noms[notes>12] y = c (2,4,3,1) z = c (x,y) sort (y) ordre ↗ rev (sort (y) ) ordre↘ ----------------- Ex : mean (Volume) =>moyenne var (Volume)=> variance sd (Volume) => ecart type cov (Volume, Height) => covariance cor (Volume, Height) => corrélation hist (Volume, freq = FALSE, br=c(10,50,60,70,80) x=c(rep(0,4), rep(1,3),…) E=table(x)

* E(a) = a * E(aX) = aE(X) * E(X+Y) = E(X) + E(Y) 2) Variance et covariance a) Définition * V(X) = σ² = E[(X-X )²] = E(X²) -X² * COV(X,Y) = σXY=E[X-XY-Y] = E(XY) - xy La covariance permet de définir le coefficient de corrélation, qui varie entre -1 et +1 : Pxy = σxy(σxσy)

formes : Y=Xa+ε=Xa+e modèle estimé Y=Xa, e=y-y(e est le résidu et sera connu après estimation) a=X'X-1.X'Y, Y=Xa+ε Donc a=X'X-1.XXa+ε= X'X-1.X'Xa+ X'X-1.X'ε=a+ X'X-1.X'ε Soit Ea=a car Eε=0, donc a est sans biais CALCULONS LA MATRICE DE VARIANCE-COVARIANCE DES COEFFICIENTS Ωa=E(a-Ea)(a-Ea)'=Ea-aa-a'or a-a=X'X-1.X'ε D’après (3)a-a= εX.(X'X)-1, puisque (X’X)-1 est symétrique a-aa-a'=X'X-1X'εε'X(X'X)-1 Ωa=X'X-1X'Eεε'.X(X'X)-1 Or d’après les hypothèses H3 et H4 on a la matrice suivante : Eεε'=

A -10% -4% 4% 12% 20% B 2% 7% 6% 4% 4% 1 pt 1 pt 1 pt Calculer l’esp´rance des rendements et la variance de chaque soci´t´. e ee Expliciter les r´sultats. e 1 1 pt 5. En utilisant les donn´es de la question ??, calculer la covariance et la corr´lation des rendements e e des deux soci´t´s. ee Expliciter les r´sultats. e 6. En utilisant les donn´es de la question ??, si les soci´t´s A et B sont combin´es dans un seul e ee e portefeuille ` hauteur de 50%, calculer le rendement

tableau suivant ou X désigne le numéro du mois et Y le chiffre d’affaire correspondant. x 1 12 2 13 3 15 4 19 5 21 6 22 Calculer les moyennes X et Y Construire le nuage de points (abscisse 2cm ordonnée 1cm) Calculer la variance V ( X ) et la covariance COV ( X , Y ) Démontrer que la droite de régression de y en fonction de x est y = Tracer en utilisant la droite. Calculer une estimation du chiffre d’affaire à la fin du 78 x + 9, 2 35 7ème mois. Exercice 2 (Bac 1989) Le tableau suivant

facteur levels Récupère les modalités d’un facteur (ordonné ou pas) sum Somme cumsum Somme cumulée prod Produit cumprod Produit cumulé E.3 Statistiques descriptives summary Résumé des données mean Moyenne var Variance sd Ecart type median Médiane cov Covariance cor Correlation E.4 Graphiques (paquettages graphics et lattice) plot xyplot Graphe générique, y = f(x) boxplot bwplot Boîtes à moustaches coplot xyplot Graphes conditionnels (en fonction d’un attribut discret) interaction.plot — Graphes

Déterminer les distributions marginales de X et de Y. (1) b) Déterminer le nombre moyen de paires pour enfants vendues par mois. (2) c) Déterminer l’écart-type du nombre de paires pour enfants vendues par mois. (1) d) Calculer la covariance entre X et Y (2) e) Le profit de Chaussex correspond à 12$ par paire pour adultes et à 10$ par paire pour enfants. Calculer le profit mensuel espéré et l’écart-type du profit mensuel pour Chaussex. - 5 - Problème 5 (8 points)

8 Ce tableau permet de calculer les paramètres de la loi : 1 3 1 1 1 E(Z) = 1 × + 2 × + 3 × + 4 × + 6 × = 3 8 8 8 4 8 V(Z) = E(Z²) - [ E(Z) ]² = 1² × 1 3 1 1 1 9 + 2² × + 3² × + 4² × + 6² × - 3² = = 2,25. 8 8 8 4 8 4 5°/ Calcul de la covariance de X et Y. a) Première méthode. La formule V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) + 2 Cov ( X , Y ), jointe à la remarque V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) du 3°/, montre que l'on a : Cov ( X , Y ) = 0 b) Deuxième méthode. La formule Cov ( X , Y )

actionnaires ; I = (d1/c) + g Avec i = taux (coût du capital) ; d1 : premier dividende (rang) ; c = valeur actuelle du titre ; g = taux de progression du dividende b) Le modèle du MEDAF Taux requis par l’actionnaire = rf + (E(Rm)-rf)*Beta Beta = covariance (investissement ; marché)/variance marché Sensibilité et endettement , BetaC = BetaA [1 +(1-t)*D/C] avec BetaA = sensibilité avant endettement et BetaB = sensibilité après endettement  L’endettement accroît le risque et donc accroît la sensibilité

compte de ses propriétés, on peut calculer des résumés empiriques synthétiques (i) Moyenne empirique mT (y) = yT ˆ ¯ := 1 T T yt t=1 (1.2.4) 1.2. ELÉMENTS D’ANALYSE DES DONNÉES FINANCIÈRES 15 (ii) Matrice de variance covariance empirique ˆ ΣT (y) = (ˆij,T (y))1≤i,j≤d := σ σij,T (y) ˆ = T 1 T −1 (yt − yT )(yt − yT ) ¯ ¯ (1.2.5) j i (yt − yT )(yt − yT ) ¯i ¯j (1.2.6) t=1 T 1 T −1 t=1 qui est une matrice carrée symétrique semi-définie