Croissance exponentielle

Exercices de Microbiologie Exercice 1 : Etude de la croissance d’une souche d’Acetobacter. On étudie la croissance d’une souche d’Acetobacter. 1. Décrire une technique qui permette d’étudier l’évolution de la population bactérienne en fonction du temps. 2. La souche d’Acetobacter est cultivée dans un milieu liquide contenant les substrats appropriés et de l’acide para-aminobenzoïque (PAB), indispensable à cette bactérie. Le tableau ci-dessous donne le nombre de bactéries par unités de volume (N)

fécondité qui s’est maintenu constant jusqu’au début des années 1980. La relation entre la croissance démographique et le développement économique a fait l’objet d’un débat théorique entre plusieurs économistes ; les uns pessimistes (MALTHUS…) considèrent la croissance démographique comme un handicap qui freine le développement économique, les autres optimistes (Godwin….) optent pour une croissance démographique harmonieuse dans la mesure où elle stimule le développement économique.

taux de croissance annuel supérieur à 10 % -Taux de croissance de 11.9% en 2007 et prévision a 6.7 en 2009 et 8 en 2010 -Faible taux d’inflation (4.8% pour 2007) -Croissance élevé et longue -Investissement nombreux => gains en productivité -Elle n’a pas besoin du monde extérieur pour financer sa propre croissance -Garanties à l’investissement -Marché en pleine croissance, investissements de 3 milliards d’euros dans les 5 prochaines années sur la plasturgie -Taux de croissance de 8.5% en

population de l’Afrique a considérablement augmenté. Ce n’était pas toujours le cas et cette croissance démographique est réellement sans précédent. Mais le problème de la population n’est pas uniquement une question de chiffres, c’est aussi une question de bien être humain et de développement. Pourtant cette forte croissance démographique est revue à la baisse. Après un maximum de 2% atteint vers 1965, la croissance annuelle de la population mondiale s’est ralentie, pour atteindre 1,7% au début des années

exp - ∫ Z. Cherfi λ(t) dt 18 Cas particulier • λ(t) = λ= constante • Dans ce cas là – R(t) = exp-λt – F(t) = 1- [exp-λt] • On reconnaît la fonction de répartition de la loi exponentielle • La zone B correspond à la période de vie utile, à un λ constant et à une modélisation par la loi exponentielle. Z. Cherfi 19 MTBF, MTTF • MTTF (Mean Time To Failure): c ’est la moyenne de la distribution des durées de vie (c ’est la durée de vie moyenne de tout équipement de la population considérée)

Correction  sujet  BTS      Partie  A  :    L’ensemble de solutions de l’inéquation /(x) ≤ 3,5 est 5,3  ;10 .  Partie  B  :    1. a. g est de la forme 5 − e donc sa dérivée est –u′e .  u = −0,2x + 1   donc u = −0,2 donc g x = − −0,2 e 0,2 = 0,2e 0,2  b. La fonction exponentielle est positive sur R et 0,2 est positif donc g′ est positive sur R donc  sur 1  ;10 .  2. Tableau de variations de g  :  x 1 10 g′(x) +  g  4,63  2,77  3. a. Tableau de valeurs de g  :  x 1 2 3 4 5 6 8 10 g(x) 2,77 3,18 3,51 3,78 4 4,18 4,45 4,63 

. . . . . e e 3 D´tection des outliers dans le cas d’une queue de distribution e ` d´croissance exponentielle a e 3.1 Test d’hypoth`se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2 Puissance du test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Estimateurs de an et bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 D´tection des outliers dans le cas d’une queue de distribution e ` d´croissance polynomiale a e 4.1 test d’hypoth`se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . 1.3 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 La loi normale centrée réduite . . . . . . 3 Le théorème central limite . . . . . . . . . . .

la présence de troupeaux sur la route, etc. Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il survienne un incident. On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre [pic]= [pic], appelée aussi loi de durée de vie sans vieillissement. On rappelle que la loi de probabilité est alors définie par : p( D[pic] A ) = [pic]. Dans tout l’exercice, les résultats numériques seront arrondis au millième

multiplicatif C. Autres approches V. Un exemple de décomposition d’une série chronologique A. Schéma additif B. Schéma multiplicatif © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. VI. Les méthodes de lissage exponentiel A. Le lissage exponentiel simple B. Le lissage exponentiel double Testez-vous Exercices 5. Modèle probabiliste et variable aléatoire I. Éléments de calcul des probabilités A. Notion de probabilité B. Probabilités conditionnelles TABLE DES MATIÈRES • V II. Variables