Croissance exponentielle

Modèle additif B. Modèle multiplicatif C. Autres approches 113 113 114 115 V. 115 116 118 Un exemple de décomposition d’une série chronologique A. Schéma additif B. Schéma multiplicatif VI. Les méthodes de lissage exponentiel A. Le lissage exponentiel simple B. Le lissage exponentiel double 120 120 125 Testez-vous Exercices 127 128 5. Modèle probabiliste et variable aléatoire I. 131 Éléments de calcul des probabilités A. Notion de probabilité B. Probabilités conditionnelles 133 133 136 TABLE

machines, l’arrivée de taches dans l’unité centrale d’un ordinateur 1.2 Objectifs L’objectif principal de ce travail est l’étude du processus de poisson d’une façon générale et particulièrement le processus du poisson non homogène basé sur la loi exponentielle, un processus qui possède des différentes propriétés et applications. Pour cela, il a fallu de bien étudier ce processus savoir son domaine d’application et son rôle dans la répartition des 7 systèmes et logiciels. Ensuite, à partir de ces

probabilisé (Ω, A, P). a) Donner l’expression de la fonction de répartition FY de la variable aléatoire Y à l’aide de la fonction de répartition FX de la variable aléatoire X. b) Déterminer une densité fY de Y, puis vérifier que Y suit la loi exponentielle de paramètre λ . 3/4 c) Retrouver alors sans calcul la valeur de V ( X ) . 5) Soit U une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0, 1[. 1 a) On pose W = − ln( 1 − U ) et on admet que W est une variable aléatoire. Déterminer la λ fonction

(N ) = = ≈ 0,9969 P (A) 0,8763 Partie B On considère que la vie d’une peluche se termine lorsqu’elle subit un dommage majeur. On admet que la durée de vie en années d’une peluche, notée D, suit une loi exponentielle de paramètre λ. 1. On sait que P (D 4) = 0,5. Si D suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors P (D Donc P (D a a) = −∞ λe−λt dt = 1 − e−λa . 4) = 0,5 ⇐⇒ 1 − e−4λ = 0,5 ⇐⇒ 0,5 = e−4λ ⇐⇒ ln 0,5 = −4λ ⇐⇒ λ = − ln 0,5 4 Baccalauréat S A. P. M. E. P. 2. On prendra ici λ

Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . 1.3 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 La loi normale centrée réduite . . . . . . 3 Le théorème central limite . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . e 2.2 Mod`le param´trique ou non param´trique e e e 2.3 Fonction de vraisemblance . . . . . . . . . 2.4 Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Exhaustivit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.6 La famille exponentielle . . . . . . . . . . 7 9 9 10 11 13 14 18 23 23 23 27 28 29 30 32 33 37 37 37 41 41 44 44 44 46 49 49 49 50 55 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H´t´rog´n´it´ dans le mod`le collectif, lois m´langes . . . . . . . ee e e e e e 2.6.1 Propri´t´s g´n´rales des lois m´lange . . . . . . . . . . . . ee e e e 2.6.2 Lois Poisson-m´lange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.6.3 M´lange de lois exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.6.4 Lois compos´es m´lange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3 Approximation du mod`le individuel par le mod`le collectif e e 7 9 9 9 10 11 11 13 16 17 19 19 20 20 21 22 22 22 24 27 28 30 4 Compl´ments

l'origine t →0 lim ln t = +∞ ; lim et = +∞ ; lim e = 0 ; t → +∞ t lim ln t = − ∞ t →0 Si α > 0, lim tα = 0 ; Si α > 0, lim t α ln t = 0 . si α < 0, lim t α = 0 t → +∞ t →0 si α < 0, lim t α = +∞ t →0 Si α > 0, lim t α = +∞ ; Croissances comparées à l'infini Si α > 0, lim et ln t t → +∞ t α = +∞ =0 Si α > 0, lim t → +∞ t α b) Dérivées et primitives : Fonctions usuelles f (t ) ln t et t α (α ∈ IR*) Opérations f ′(t ) 1 t et α t α −1 (u + v )′ = u ′ + v′ (k u )′

9 3.6.7 La loi de Poisson de param`tre λ ∈]0, ∞[ . . . e 3.6.8 Le cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.9 La loi uniforme continue sur le segment [a, b] : . 3.6.10 lois gaussiennes (ou lois normales) . . . . . . . 3.6.11 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . Variables al´atoires ind´pendantes . . . . . . . . . . . e e R´sum´ du troisi`me chapitre . . . . . . . . . . . . . . e e e Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’origine a t→0 lim ln t = +∞ lim ln t = −∞ t→0 t→0 t→+∞ lim et = +∞ Si α > 0, lim tα = 0 ; si α < 0, lim tα = +∞ Si α > 0, lim tα ln t = 0. t→0 t→−∞ lim et = 0 Si α > 0, lim tα = +∞ ; si α < 0, lim tα = 0 t→+∞ t→+∞ Croissances compar´es ` l’infini e a Si α > 0, lim Si α > 0, lim et = +∞ t→+∞ tα ln t =0 tα t→+∞ b. D´riv´es et primitives e e Fonctions usuelles f (t) f (t) ln t et tα (α ∈ R) sin t cos t 1 t f (t) tan t Arc sin t f (t) 1 = 1 + tan2 t cos2 t 1