Croissance exponentielle

´etudiant le comportement de la d´eriv´ee de la fonction fk (x), on note que (i) f1 (x) est strictement d´ecroissante et limx→0+ fk (x) = ∞ ; (ii) f2 (x) est strictement d´ecroissante et limx→0+ fk (x) = 1/2 ; en fait, f2 (x) est simplement la loi exponentielle avec param`etre λ = 1/2 ; (iii) si k > 2, alors fk (x) est une densit´e unimodale et limx→0+ fk (x) = 0. Dans le cas o` u k > 2, obtenez la valeur modale de la densit´e fk (x) c’est-`a-dire la valeur x∗ o` u la densit´e atteint son maximum. Solution

centrée réduite z = (x-µ)/ Attention : valeurs des tables = probabilité entre µ=0 et z. La fonction de densité de probabilité exponentielle f(x) =1/µ e^(-x/µ) et P(x≤x0)=1-e-x0/µ Pour des questions d’espace/temps de type : ds combien de temps un événement se produira. La loi de Poisson donne le taux d’occurrence par intervalle alors que la loi exponentielle donne la longueur des intervalles entre les occurrences DISTRIBUTIONS D’ÉCHANTILLONNAGE Distribution de la moyenne x La distribution

Révisions Bac S - Fiche n°1 1.1. Résoudre dans c l'équation 4z² + 3 = 0 . Donner les solutions sous forme algébrique et exponentielle. 1.2. Soit la suite (un) définie par un u0 = 1 et un+1 = , pour tout n de n. 1 + un a. Déterminer ses cinq premiers termes, puis faire une conjecture sur l'expression du terme général de la suite (un) . 1 b. On suppose un ≠ 0 pour tout n de n et on pose vn = . un Montrer que la suite (vn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.

l'estimateur augmenté \mathbb{E}(\delta |S) est optimal et l'on ne peut pas trouver de meilleur estimateur. Exemple[modifier] Montrons par exemple que pour une loi exponentielle de paramètres λ la moyenne des observations est le meilleure estimateur possible pour λ. Si l'on a un vecteur des observations X de taille n avec les Xi de loi exponentielle (λ,σ) on commence par montrer que S(X)=\sum_1^n X_i est une statistique exhaustive et complète. Pour montrer que cette statistique est exhaustive cela se

relevés laissés par les colons espagnols de l'époque ont permis d’établir que l’espérance de X, notée m, était de 3 dm seulement Que peut-on dire de la probabilité p= P(|X-m|>1) dans les cas suivants : a) X suit une loi de Poisson b) X suit une loi exponentielle c) X suit une loi inconnue d’écart-type σ = 0,5 IV - Dans les déserts de l'Ouest californien, les plantes comestibles et le gibier étaient extrêmement rares et une famille épuisait la nourriture à plusieurs milles à l'entour de son campement

variable bijectif donc Le couple admet donc la densité : où et R et sont indépendantes R suit la loi de densité suit la loi uniforme sur de densité Loi de ? alors suit la loi exponentielle de paramètre . Proposition 2 : Si un couple est tel que : R suit la loi de densité suit la loi uniforme sur et sont indépendantes. Alors et sont deux variables aléatoires indépendantes de loi normale Preuve

nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique, la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive (la désintégration des noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de paramètre noté aussi lambda), la biologie, la météorologie, … Diagrammes en bâtons : Comme toute loi de probabilité discrète, une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme en bâtons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en

compte dans l’évaluation. Déterminer la distance du point A à la droite (D). EXERCICE 3 (5 points) Commun à tous les candidats La durée de vie, exprimée en heures, d’un agenda électronique est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre A où X est un réel strictement positif. On rappelle que pour tout t ( 0, P(X ( t) = [pic]. La fonction R définie sur l’intervalle [0 ; +([ par R(t) = P(X > t) est appelée fonction de fiabilité. 1. Restitution organisée de connaissances

que les machines sont identiques Exercice 5 : vérification d’une loi : On donne l’historique d’une machine : Machine N°__ TBF N° de panne 24 35 38 39 42 57 62 1 2 3 4 5 6 7 Déterminer si cette loi de durée de vie suit une loi exponentielle ? Exercice 6 : On dispose d’un moteur dont on désire faire l’étude par Weibull. Pour cela on dispose de TBF suivants : 432, 335, 244, 158, 77, 535, 646, 766, 897, 4494, 3454, 2846, 2414, 1040, 2079, 1806, 1574, 1374, 1374, 1198. Déterminer

le nombre de patients aux urgences sur une durée ou le nombre de colonies sur une boite de pétri)  Lois continues - Loi uniforme : X appartient à [a;b] et E(X)=(a+b)/2 (loi très peu utile en médecine) Ronéo n°1 – Cours n°1 UE11 4 sur 10 Loi exponentielle : paramètre λ E(X)=1/λ et Var(X)=1/λ² (loi très utile pour les courbes de survie ou en médecine nucléaire pour les désintégrations radioactives) - Loi Normale (ou de Gauss) : paramètre µ (espérance) et σ² (variance) (très très utilisée, d’autant